Капельница

Скорость каждой капли находите из равенства силы Стокса и разности силы тяжести и архимедовой силы, а отношение объёмов — из отношения времён отрыва капель.

1.2) \(V_1/V_2\approx1{,}2\);  1.3) \(\eta_1/\eta_2\approx1{,}6\);  2.1) граница движется равномерно, \(v\approx0{,}17\) см/с.

1.1 Результаты измерений времен отрыва последовательно образующихся капель \(t_1(k)\) растворителя в воде и \(t_2(k)\) - воды в растворителе приведены в Таблице 1. Рядом приведены графики полученных зависимостей.

Таблица 1.

1.2 Из полученных зависимостей следует, что среднее время образования капли растворителя (поднимающегося вверх) равно \(\tau_1 = 0{,}50\)с, а среднее время образования капли воды (опускающейся вниз) равно \(\tau_2 = 0{,}42\)с. Так как объемы перетекающих жидкостей в единицу времени одинаковы, то отношение объемов капель равно отношению времен их образования

\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{\tau_1}{\tau_2} \approx 1{,}2\tag{1}\]

1.3 Отношение вязкостей жидкости можно найти по отношению скоростей их движения. Для каждой капли при ее равномерном движении справедливо уравнение

\[6\pi\eta R v = \vert mg - F_A\vert = \frac{4}{3}\pi R^3 (\rho_1 - \rho_2)g\tag{2}\]

Из этого выражения следует, что отношение вязкостей может быть рассчитано по формуле

\[\frac{\eta_1}{\eta_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 \frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{2}{3}} \frac{v_2}{v_1}\tag{3}\]

Таким образом, для определения отношения вязкостей необходимо измерить скорости движения капель. В результате измерений получены значения \(v_1 \approx 13{,}6 \frac{\text{см}}{c}\), \(v_2 \approx 9{,}8 \frac{\text{см}}{c}\). Следовательно, отношение вязкостей жидкостей (растворителя к воде) равно

\[\frac{\eta_1}{\eta_2} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{2}{3}} \frac{v_2}{v_1} = (1{,}2)^{\frac{2}{3}} \frac{13{,}6}{9{,}8} \approx 1{,}6\tag{4}\]

Часть 2. Движение границы.

2.1 Результаты измерения зависимости координаты границы \(x\) от времени \(t\) приведены в таблице 2. Рядом приведен график закона движения границы \(x(t)\)

Таблица 2.

Полученные данные однозначно свидетельствуют, что граница движется равномерно, со скоростью примерно равной \(v = 0{,}17 \frac{\text{см}}{\text{с}}\).

2.2 Полученные данные, на первый взгляд противоречат формуле Пуазейля, из которой следует, что скорость перетекания жидкости должна зависеть от разности давлений на концах трубки. Однако при движении жидкости формула для гидростатического давления оказывается не применимой, так как устанавливается новое распределение давлений, обеспечивающих равенство перетекающих потоков жидкости. На рисунке приведены значения на разных уровнях внутри пробирки. Учтено, что разность давлений на концах трубок определяется формулой Пуазейля.

\[q = \frac{\pi r^4}{8 \eta l} \Delta P \quad \Rightarrow \quad \Delta P = C \eta q\tag{5}\]

Где \(C\) - постоянная величина, зависящая только от геометрических размеров трубок.

Приравнивая два выражения для давления на нижнем срезе нижней трубки, получим \(P_0 + \rho_1 g l - C \eta_1 q = P_0 + C \eta_2 q + \rho_2 g l\), Откуда следует формула для расхода жидкостей

\[q = \frac{\rho_1 - \rho_2}{c(\eta_1 - \eta_2)} g l .\tag{6}\]

Таким образом, показано, что расход жидкости и, следовательно, скорость движения границы постоянны и не зависят от давления в верхней части верхней пробирки.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.