Цилиндр с нитью на наклонной плоскости
6/10На однородный цилиндр радиуса \(R\) и массы \(4m\) намотана невесомая нить, к концу которой привязано тело массы \(m\). Цилиндр аккуратно кладут на наклонную плоскость, по которой он может катиться без проскальзывания, так, что его образующая перпендикулярна направлению быстрейшего спуска с плоскости (см. рисунок). При каком угле наклона плоскости \(\alpha\) цилиндр будет двигаться вверх по плоскости?
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаСравните моменты силы тяжести цилиндра и силы натяжения нити относительно точки касания цилиндра с плоскостью.
Ответ\(\sin\alpha \le \dfrac{m}{5m} = \dfrac{1}{5}\), то есть \(\alpha \le \arcsin\dfrac{1}{5} \approx 11{,}5^\circ\).
РешениеЦилиндр будет подниматься вверх, если момент силы натяжения нити \(T = mg\) относительно точки касания цилиндра с плоскостью не меньше момента силы тяжести цилиндра \(Mg\) относительно той же точки (см. рисунок).
Плечо силы тяжести равно \(R\sin\alpha\), плечо силы натяжения равно \(R - R\sin\alpha\), поэтому условие движения вверх \[MgR\sin\alpha \le mg\,(R - R\sin\alpha), \qquad M = 4m .\] Отсюда \[\sin\alpha \le \frac{m}{M+m} = \frac{1}{5}, \qquad \alpha \le \arcsin\frac{1}{5} \approx 11{,}5^\circ .\] (Эквивалентно: при подъеме уменьшение потенциальной энергии тела при опускании должно быть не меньше увеличения потенциальной энергии цилиндра.) Радиус цилиндра в ответ не входит.
Похожие задачи
- Палочка, брусок и сосуд с водой МОШ 2010/11, 8 кл.
- Палочка с шарниром в жидкости МОШ 2011/12, 10 кл.
- Цилиндр со смещённым центром масс ВсОШ 2011/12, 10 кл.
- Цилиндр со смещённым центром масс ВсОШ 2011/12, 11 кл.
- Стопка кирпичей МОШ 2013/14, 8 кл.
- Доска на трёх пружинах МОШ 2013/14, 7-11 кл.