«Ванька-встанька» из шаров

Устойчивость определяется положением центра тяжести относительно геометрического центра нижней сферической поверхности. Найдите положение центра тяжести конструкции с помощью суммы геометрических прогрессий.

Если центр тяжести тела с гладкой сферической нижней поверхностью лежит ниже геометрического центра этой поверхности, то при отклонении тело возвращается в исходное положение (момент силы тяжести относительно точки касания возвращает его). У ваньки-встаньки центр тяжести нижнего шара совпадает с его геометрическим центром, а дополнительные шары сверху поднимают центр тяжести выше этого центра, поэтому момент силы тяжести выводит систему из положения равновесия, и конструкция неустойчива.

Найдем массу \(M\) ваньки-встаньки. Радиусы шаров вдвое отличаются, поэтому массы отличаются в \(2^3 = 8\) раз: \[M = m + \frac{1}{8}m + \left(\frac{1}{8}\right)^2 m + \ldots = \frac{8m}{7}.\] Чтобы найти положение центра тяжести, положим ваньку-встаньку «на бок» на поверхность. Так как каждый последующий шар вдвое меньше предыдущего, все шары касаются поверхности, и расстояние от центра тяжести каждого шара до поверхности равно его радиусу. Расстояние от поверхности до центра тяжести \[d = \frac{m\,r + \frac{m}{8}\cdot\frac{r}{2} + \frac{m}{64}\cdot\frac{r}{4} + \ldots}{M} = \frac{mr\cdot\frac{1}{1-1/16}}{\frac{8m}{7}} = \frac{14}{15}\,r ,\] (сумма в числителе — геометрическая прогрессия со знаменателем \(1/16\)).

Угол \(\alpha\) между поверхностью и прямой, соединяющей нижнюю точку с центром тяжести: \[\sin\alpha = \frac{r}{r + 2\cdot\frac{r}{2} + 2\cdot\frac{r}{4} + \ldots} = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3} .\] Тогда расстояние от центра большого шара до центра тяжести \[l_c = \frac{r - d}{\sin\alpha} = \frac{r/15}{1/3} = \frac{r}{5} .\] Расстояние от нижней точки ваньки-встаньки до его центра тяжести равно \[L_c = r + l_c = \frac{6r}{5} .\] Чтобы конструкция с прикрепленным телом массы \(\mu\) была устойчива, центр тяжести системы должен лежать ниже геометрического центра большого шара: \[\frac{M L_c}{M+\mu} \le r \quad\Rightarrow\quad \mu \ge M\,\frac{L_c - r}{r} .\] Подставляя \(M = \frac{8m}{7}\) и \(L_c = \frac{6r}{5}\), получаем \[\mu \ge \frac{8}{35}\,m .\]