Амперметры и вольтметры в цепи с омметром

Замените амперметры идеальными проводниками и выделите источник тока в цепи: это омметр. Далее сравните токи через вольтметры, зная, что напряжения на них одинаковы или связаны простым соотношением.

Источником тока в этой цепи является омметр, который подает напряжение на исследуемый резистор и измеряет силу тока и напряжение на нем. Поскольку сопротивления амперметров пренебрежимо малы, цепь эквивалентна цепи, где вольтметры — обычные резисторы (с сопротивлением \(R_V\)), а амперметры заменены идеальными проводниками. Вольтметр \(V_3\) находится под напряжением \(U = 1\) В, через него течет ток \(I_3\); через участок с амперметром \(A_4\) течет ток \(I = 1\) мкА.

Сопротивление верхней ветви \(R_{\text{верх}} = R_V + R_V + \frac{2R_V}{3} = \frac{8}{3}R_V\), нижней ветви \(R_{\text{нижн}} = \frac{1}{2}R_V\). Так как напряжения на ветвях одинаковы, \[I_{\text{нижн}} = \frac{16}{3}\,I_{\text{верх}} \qquad (*)\] Пусть ток через вольтметр \(V_3\) равен \(I_3\). Вольтметры 5 и 7 находятся под тем же напряжением, поэтому через них течет \(I_3/2\), и \(I_{\text{верх}} = \frac{3}{2}I_3\). Через вольтметр 6 течет ток \(I - \frac{I_3}{2}\), такой же ток через вольтметр 4, поэтому \(I_{\text{нижн}} = 2I - I_3\). Из (*): \[2I - I_3 = \frac{16}{3}\cdot\frac{3}{2}I_3 = 8I_3 \quad\Rightarrow\quad I_3 = \frac{2}{9}I .\] Сопротивление вольтметра \[R_V = \frac{U}{I_3} = \frac{9U}{2I} = 4{,}5\cdot10^6~\text{Ом}.\] Токи в ветвях: \(I_{\text{верх}} = \frac{1}{3}I\), \(I_{\text{нижн}} = \frac{16}{9}I\), ток через омметр \(I_\Omega = I_{\text{верх}} + I_{\text{нижн}} = \frac{19}{9}I\). Напряжение на омметре \(U_\Omega = I_{\text{нижн}}\cdot\frac{R_V}{2} = \frac{8}{9}IR_V\), поэтому показание омметра \[R_\Omega = \frac{U_\Omega}{I_\Omega} = \frac{8}{19}R_V = \frac{36\,U}{19\,I} \approx 1{,}89\cdot10^6~\text{Ом}.\]