В дифференциалах автомобилей и автоматических коробках передач используются системы шестерней, в которых отсутствуют жесткие кинематические связи — планетарные передачи. Рассмотрите модель планетарной передачи, в которой кривошип \(AB\) (рычаг, вращающийся вокруг одного из своих концов) вращается вокруг оси \(A\) неподвижного зубчатого колеса 1. Колесо 2 имеет \(N\) зубьев, колесо 1 — \(3N\) зубьев. Сколько оборотов вокруг своей оси совершит колесо 2, когда кривошип \(AB\) совершит \(n\) оборотов вокруг оси \(A\)?

Планетарная передача — ИОШ 2021/22, 11 кл., задача 2

Планетарная передача
ИОШ 2021/22, 11 кл.
4/10
В дифференциалах автомобилей и автоматических коробках передач используются системы шестерней, в которых отсутствуют жесткие кинематические связи — планетарные передачи. Рассмотрите модель планетарной передачи, в которой кривошип \(AB\) (рычаг, вращающийся вокруг одного из своих концов) вращается вокруг оси \(A\) неподвижного зубчатого колеса 1. Колесо 2 имеет \(N\) зубьев, колесо 1 — \(3N\) зубьев. Сколько оборотов вокруг своей оси совершит колесо 2, когда кривошип \(AB\) совершит \(n\) оборотов вокруг оси \(A\)?

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Рассмотрите, на какой угол повернется малое колесо, когда кривошип повернется на малый угол. Учтите, что сама точка касания колес тоже движется по большому колесу.
Ответ
\(4n\) оборотов.
Решение
Поскольку зубья колес одинаковы, длина окружности и радиус \(R\) большого колеса в три раза превосходят длину окружности и радиус \(r\) малого: \(R = 3r\). Пусть в начальный момент колеса касались так, как показано на левом рисунке, а за некоторое время кривошип \(AB\) повернулся на угол \(\Delta\varphi\) (правый рисунок). Нижняя точка малого колеса пройдет путь \(3r\,\Delta\varphi\); радиус малого колеса, направленный в точку касания, повернется на угол \(3\Delta\varphi\) относительно неподвижного положения точки касания. Сама точка касания повернется на угол \(\Delta\varphi\), поэтому полный поворот малого колеса составит \(4\Delta\varphi\).

Когда кривошип сделает полный оборот (поворот на \(2\pi\)), малое колесо повернется на \(8\pi\), то есть сделает четыре оборота вокруг своей оси. Значит, при \(n\) оборотах кривошипа колесо 2 сделает \(4n\) оборотов.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Планетарная передача

Планетарная передача

Похожие задачи