Задачи › Математический и физический маятник

Маятник

  1. Маятник

    МОШ 2022/23, 8 кл.
    6/10

    Небольшое тело, подвешенное на твёрдом стержне в поле силы тяжести, способно совершать колебательное (повторяющееся) движение, если отклонить его из положения равновесия на небольшой угол и отпустить. Математическим маятником называется физическая модель, описывающая процесс колебаний груза на стержне, в которой тело считается материальной точкой, масса стержня, а также все силы трения и сопротивления движению считаются пренебрежимо малыми. Время, затрачиваемое маятником на одно колебание, иначе говоря, на возвращение в исходную точку, называется периодом.

    1. (2 балла) Рассмотрим следующие размерные параметры: длина стержня маятника \(L\), масса тела \(m\) и ускорение свободного падения \(g\), равное \(9{,}8\text{ м/с}^2\). Исходя из соображений размерности, определите от каких параметров зависит период колебаний математического маятника. Во сколько раз изменится период колебаний маятника, если уменьшить длину подвеса в 4 раза?

    2. (4 балла) Заданный интервал времени (например, минута), измеряемый маятниковыми часами, пропорционален периоду колебаний маятника. Рассмотрим маятниковые часы, в устройство которых входит маятник длиной \(L = 1\text{ м}\), сделанный из стали. При такой длине движение маятника в одну сторону занимает \(1{,}00\text{ с}\). Известно, что при температуре окружающей среды \(t_1 = 5\,^\circ\text{C}\) часы показывают точное время. На сколько отстанут за сутки часы при температуре \(t_2 = 25\,^\circ\text{C}\)? Линейное тепловое расширение тел описывается формулой \(L = L_0\,(1 + \alpha(t - t_0))\), где \(L\) и \(L_0\) —- размер тела при температурах \(t\) и \(t_0\) соответственно, \(\alpha\) —- постоянный коэффициент линейного расширения, равный для стали \(\alpha = 12{,}5\cdot 10^{-6}\text{ 1/}^\circ\text{C}\).

    3. (4 балла) Как должен быть устроен подвес маятника, чтобы период колебаний не менялся при изменении температуры? Считается, что в своей конструкции вы можете соединять стержни, сделанные из двух разных материалов, коэффициенты линейного расширения которых равны \(\alpha\) и \(2\alpha\). В качестве ответа приведите схематичный рисунок с краткими пояснениями.

    Указание. Может оказаться полезной приближённая формула \(\sqrt{1 + x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}\), верная при \(|x| \ll 1\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    В каких единицах измеряется период и какая единственная комбинация \(L\), \(m\), \(g\) даёт секунды? Отставание часов найдите через относительное изменение периода. Для пункта в: подвес должен сохранять эффективную длину, поэтому удлинение стержней в одну сторону компенсируйте удлинением в другую.

    Ответ

    1) \(T \sim \sqrt{L/g}\), от массы не зависит, период уменьшится в 2 раза;  2) \(\Delta T \approx T\,\dfrac{\alpha\,\Delta t}{2} \approx 10{,}8\text{ с}\) (где \(T = 86400\text{ с}\));  3) подвес из трёх стержней одинаковой длины (два из материала с \(\alpha\), один из материала с \(2\alpha\)), соединённых как на рисунке.

    Решение

    а. Перечисленные в условии задачи параметры \(L\), \(m\) и \(g\) в СИ измеряются в м, кг и м/с\(^2\) соответственно. Период маятника \(T\) имеет размерность времени, которое измеряется в секундах. Существует лишь одна комбинация параметров \(L\), \(m\) и \(g\), которая даёт величину, измеряемую в секундах: \(\sqrt{L/g}\). Следовательно, если уменьшить длину подвеса в 4 раза, то период колебаний уменьшится в 2 раза.

    б. Вследствие удлинения маятника при нагревании увеличивается период его колебаний. Часы за сутки отстанут на время \(\Delta T = N(T_2 - T_1)\), где \(N\) —- число колебаний маятника за сутки при температуре \(25\,^\circ\text{C}\), а \(T_1\) и \(T_2\) —- периоды колебаний маятника при температурах \(5\,^\circ\text{C}\) и \(25\,^\circ\text{C}\) соответственно. Найдём \(\Delta T\), воспользовавшись приближённой формулой, приведённой в условии задачи: \[\Delta T = N(T_2 - T_1) = \frac{T}{T_2}(T_2 - T_1) = T\left(1 - \frac{T_1}{T_2}\right) = T\left(1 - \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{L(1 + \alpha\Delta t)}}\right) \approx T\,\frac{\alpha\,\Delta t}{2} = 10{,}8\text{ с},\] где \(T = 86400\text{ с}\).

    в. Принципиальная схема устройства подвеса маятника приведена на рисунке. Коэффициенты линейного расширения крайних стержней и среднего стержня равны \(\alpha\) и \(2\alpha\) соответственно. Длины стержней одинаковы. Соединительные перемычки имеют пренебрежимо малую длину.

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх