Фонарь и брошенные шарики

Запишите координаты шарика как функции времени и найдите момент, когда он пересекает образующую конуса: шарик виден, пока он внутри конуса.

Выберем начало координат в точке крепления фонаря, ось \(x\) направим вдоль оси конуса в направлении распространения света, ось \(y\) направим вверх. Для шарика, пущенного горизонтально: \[x(t) = vt, \qquad y(t) = -\frac{gt^2}{2}.\] В момент времени \(\tau\) траектория шарика пересекается с образующей конуса, поэтому координаты шарика удовлетворяют условию \[y(\tau) = -x(\tau)\operatorname{tg}\alpha \approx -\alpha x(\tau), \qquad\text{откуда}\qquad \tau = \frac{2\alpha v}{g}.\] Для второго шарика \[x(t) = vt\cos\alpha \approx vt, \qquad y(t) = vt\sin\alpha - \frac{gt^2}{2} \approx \alpha vt - \frac{gt^2}{2}.\] Время \(\tau_1\) находим из аналогичного условия \[y(\tau_1) = -\alpha x(\tau_1), \qquad\text{откуда}\qquad \tau_1 = \frac{4\alpha v}{g} = 2\tau = 4\text{ с}.\] Время \(\tau_2\) найдём, приравняв к нулю \(y(t)\): \[\alpha v\tau_2 - \frac{g\tau_2^2}{2} = 0, \qquad\text{откуда}\qquad \tau_2 = \frac{2\alpha v}{g} = \tau = 2\text{ с}.\] Модуль начальной скорости, с которой бросают шарики, \[v = \frac{g\tau}{2\alpha}.\]