Время столкновения упругого шара со стенкой

Время столкновения определяется периодом малых колебаний шара, а жёсткость шара можно выразить через модуль Юнга, как для пружины.

Когда шар налетает на стенку, его кинетическая энергия переходит в энергию деформации, а затем энергия деформации снова переходит в кинетическую энергию шара. Следовательно, время столкновения шара со стенкой по порядку величины совпадает с периодом малых колебаний поверхности шара. Так как эти колебания малые (малы деформации шара при столкновении), они гармонические, и их период не зависит от амплитуды. Поэтому время столкновения от скорости шара не зависит.

Если бы на стенку налетала не шар, а упругая пружина, для времени столкновения нужно было бы взять формулу для периода колебаний пружинного маятника \[\Delta t = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\] где \(m\) — масса пружины, \(k\) — её жёсткость. Поэтому для нашей задачи нужно построить аналог коэффициента жёсткости. Это легко сделать, исходя из определения модуля Юнга \(\dfrac{ES}{l}\,\Delta l = F\), поскольку жёсткость — это коэффициент пропорциональности между силой и деформацией. Здесь \(l\) — размер шара (по порядку величины \(R\)), \(S\) — площадь поперечного сечения (по порядку величины \(R^2\)). Отсюда находим время столкновения \[\Delta t = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{ER}} \sim 10^{-4}\ \text{с}.\]

Эту же оценку (с точностью до числового множителя) можно получить и так. Скорость звука в твёрдом теле есть \(c=\sqrt{E/\rho}\). За время столкновения звуковая волна должна дважды пройти шар, поэтому \[\Delta t \sim \frac{2R}{c} = 2R\sqrt{\frac{\rho}{E}} = 2\sqrt{\frac{\rho R^3}{ER}} \sim 2\sqrt{\frac{m}{ER}} \sim 10^{-4}\ \text{с}.\]