Удаление со льда

Сравните \(\operatorname{tg}\alpha\) с \(\mu\): при \(\operatorname{tg}\alpha \leqslant \mu\) ящик едет вместе со скребком, иначе скользит по нему, и полная реакция скребка отклонена от нормали на угол трения. Ящик тогда движется вдоль этой реакции, а проекции ускорений ящика и скребка на нормаль к скребку совпадают.

1. Возможны два различных режима движения ящика: без скольжения по скребку (рис. 1) и с проскальзыванием (рис. 2).

В первом режиме полная реакция опоры \(\vec Q_\text{с}\) (результирующая силы нормальной реакции скребка \(\vec N_\text{с}\) и силы трения \(\vec F_{\text{тр(с)}}\), действующей на ящик со стороны скребка) направлена вдоль направления движения скребка, поэтому: \[F_{\text{тр(с)}} = N_\text{с}\operatorname{tg}\alpha.\] Поскольку сила трения покоя удовлетворяет соотношению \(F_{\text{тр(с)}} \leqslant \mu N_\text{с}\), то первый режим реализуется при условии: \[\operatorname{tg}\alpha \leqslant \mu.\] Если данное условие не выполняется, то реализуется второй режим. Во втором режиме сила трения \(\vec F_{\text{тр(л)}}\), действующая на ящик со стороны льда, направлена противоположно \(\vec Q_\text{с}\), поскольку ящик изначально неподвижен. При этом \(\vec Q_\text{с}\) образует угол \(\varphi = \operatorname{arctg}\mu\) с нормалью к поверхности скребка и угол \(\beta = \alpha - \varphi\) с направлением ускорения скребка. Значит, и направление движения ящика образует угол \(\beta\) с направлением ускорения скребка.

Для первого ящика \(\operatorname{tg}\alpha_1 \approx 0{,}176 < \mu\), значит, он движется без скольжения по скребку. Для второго ящика \(\operatorname{tg}\alpha_2 = 1 > \mu\), и для него реализуется второй режим. Тогда путь первого ящика до границы ледяного поля \(s_1 = L\), а значит, ускорение скребка: \[a = \frac{2L}{t_1^2} = \frac{2 \cdot 0{,}8}{4}\text{ м/с}^2 = 0{,}4\text{ м/с}^2.\]

2. Найдём путь \(L_2\) второго ящика, зная, что его направление движения образует угол \(\beta\) с направлением ускорения скребка и ящик двигался из состояния покоя: \[L_2 \cdot \cos\beta = L.\] Следовательно, отношение путей второго и первого ящиков: \[\frac{L_2}{L} = \frac{1}{\cos\beta} = \frac{1}{\cos(\alpha_2 - \varphi)} \approx 1{,}14.\]

3. Поскольку второй ящик движется без отрыва от скребка, проекции скорости ящика и скребка на направление нормали к поверхности скребка в любой момент должны быть одинаковы: \[v_n = v_{\text{я}(n)}.\] Тогда, поскольку ящик и скребок движутся поступательно, проекции ускорений ящика и скребка на направление нормали к поверхности скребка также должны совпадать: \[a_n = a_{\text{я}(n)}.\] Векторы ускорения \(\vec a\) и \(\vec a_\text{я}\) образуют углы \(\alpha_2\) и \(\varphi\) соответственно с нормалью к поверхности скребка: \[a\cos\alpha_2 = a_\text{я}\cos\varphi.\] Тогда во втором режиме для времени \(t_2\) движения ящика до края поля находим: \[t_2 = \sqrt{\frac{2L_2}{a_\text{я}}} = \sqrt{\frac{2L}{a}\,\frac{\cos\varphi}{\cos\alpha_2\cos(\alpha_2 - \varphi)}} = t_1\sqrt{\frac{\cos\varphi}{\cos\alpha_2\cos(\alpha_2 - \varphi)}} \approx 2{,}5\text{ с}.\]

4. Для нахождения силы трения между первым ящиком и скребком расставим силы, действующие на ящик, и запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось, параллельную плоскости скребка: \[ma\sin\alpha_1 = F_{\text{тр(с)}1} - \mu' mg\sin\alpha_1; \quad F_{\text{тр(с)}1} = m\sin\alpha_1\,(a + \mu' g).\] Для второго ящика из второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось, направленную вдоль нормали к поверхности скребка, получим: \[ma_{\text{я}(n)} = ma\cos\alpha_2 = N_\text{с} - \mu' mg\cos\varphi \;\Rightarrow\; F_{\text{тр(с)}2} = \mu m\,(\mu' g\cos\varphi + a\cos\alpha_2).\] Таким образом, отношение сил трения между скребком и ящиком в двух режимах: \[\frac{F_{\text{тр(с)}2}}{F_{\text{тр(с)}1}} = \frac{\mu\,(\mu' g\cos\varphi + a\cos\alpha_2)}{\sin\alpha_1\,(a + \mu' g)} \approx 1{,}4.\]