Заряд между полуплоскостями

Воспользуемся для решения задачи методом изображений. Суть этого метода фактически сводится к тому, что мы мысленно размещаем в пространстве набор фиктивных точечных зарядов таким образом, чтобы потенциалы всех проводников при этом остались прежними. При этом поле, создаваемое всеми (реальными и фиктивными) зарядами в пространстве, свободном от проводников, будет в точности совпадать с полем, которое создают там реальные заряды вместе с зарядами, наведёнными на поверхностях проводников. Следовательно, для расчёта системы можно будет воспользоваться законом Кулона, что существенно облегчит вычисления. В рассматриваемой задаче потенциал полуплоскостей равен нулю, поскольку проводники уходят на бесконечность. Из соображений симметрии следует, что в данной системе наведённые заряды можно заменить тремя фиктивными зарядами (одним положительным \(+q\) и двумя отрицательными \(-q\)), размещёнными за проводником так, как показано на рисунке 3.11. Действительно, при таком расположении зарядов все точки поверхности проводника находятся на одинаковых расстояниях от соответствующих пар разноимённых зарядов, что и обеспечивает равенство нулю потенциала проводящей поверхности.

Поскольку электрическое поле в реальной системе существует только в правом верхнем квадранте (см. рисунок), то полная энергия взаимодействия зарядов в этой системе \(W\) может быть найдена, как \(1/4\) от суммы энергий взаимодействия, взятой по всем парам зарядов: \[W = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(2\cdot\left(-\dfrac{q^2}{2a}\right) + 2\cdot\left(-\dfrac{q^2}{2b}\right) + 2\cdot\dfrac{q^2}{2\sqrt{a^2 + b^2}}\right) =\] \[= -\dfrac{q^2}{16\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right).\]