Шарик под лучом света

Свет, падая на шарик с одной стороны, нагревает её (вообще говоря, неравномерно). Примем, что температура освещённой стороны повышается на некоторую максимальную величину \(\Delta T\), причём \(\Delta T \ll T_0\). Шарик тепла не проводит, поэтому к нему энергия идёт, во-первых, на излучение, а во-вторых, на обмен теплом с окружающим газом. Оценим вклад каждого из этих видов теплоотдачи в энергообмен шарика с окружающей средой.

Мощность, рассеиваемая при излучении с единицы поверхности шарика, составляет \[W_1 \approx \sigma(T_0 + \Delta T)^4 - \sigma T_0^4 \approx 4\sigma T_0^3\Delta T\] (в последнем выражении мы пренебрегли малыми слагаемыми, пропорциональными второй и более высоким степеням \(\Delta T\)).

Если с единицей поверхности шарика в единицу времени сталкивается \(N\) молекул газа, и при каждом ударе молекуле отдаётся энергия \(\Delta W\), то всего в окружающую среду таким образом отдаётся мощность \(W_2 = N\Delta W\).

Для оценки будем считать, что к поверхности шарика движется \(1/6\) часть всех молекул аргона, имеющих одинаковые скорости \(v = \sqrt{\dfrac{3RT_0}{\mu}}\). Поскольку концентрация молекул в сосуде составляет \(n = \dfrac{p_0}{kT_0}\), и \(N = \dfrac{1}{6}nv\), то: \[\Delta W \approx \dfrac{3}{2}k(T_0 + \Delta T) - \dfrac{3}{2}kT_0 = \dfrac{3}{2}k\Delta T,\] \[W_2 = \dfrac{1}{6}nv\Delta W \approx \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{p_0v\Delta T}{T_0}.\] Заметим, что обе величины \(W_1\) и \(W_2\) пропорциональны \(\Delta T\), поэтому их отношение одинаково для всех участков нагретой поверхности шарика: \[\dfrac{W_2}{W_1} \approx \dfrac{p_0\sqrt{3RT_0/\mu}}{16\sigma T_0^4} \approx 0{,}006.\] Таким образом, \(W_2 \ll W_1\), то есть можно пренебречь теплообменом шарика с окружающим его газом и считать, что вся поступающая к единице поверхности шарика мощность \(W_{\text{пост}}\) в дальнейшем рассеивается путём переизлучения. Поэтому для оценки величины изменения температуры нагретой стороны шарика там, где свет падает перпендикулярно его поверхности, имеем: \[\Delta T \approx \dfrac{W_{\text{пост}}}{4\sigma T_0^3} = \dfrac{w_0}{4\sigma T_0^3} \approx 17{,}5\text{ К}.\] Остаётся выяснить, под действием какой силы при освещении горизонтальным пучком света шарик отклоняется от положения равновесия. Вначале оценим силу светового давления на шарик, действующую в горизонтальном направлении и возникающую из-за поглощения импульса падающего пучка и дальнейшего изотропного переизлучения света: \[F_{\text{изл}} \sim \dfrac{3}{2}\pi r^2\dfrac{w_0}{c} \approx 1{,}6\cdot 10^{-12}\text{ Н}\] (здесь \(c\) — скорость света). Кроме этой силы, надо учесть взаимодействие неравномерно нагретого шарика с окружающим его разреженным газом — так называемую «радиометрическую» силу. Давление газа на освещённую (и поэтому более нагретую) часть шарика больше, чем на неосвещённую, так как молекулы при столкновении с освещённой половиной приобретают бо́льшую энергию, а значит, и уносят больший импульс. Величину добавочного давления на освещённую часть шарика можно оценить, приняв, что в среднем температура нагретой стороны равна \(T_0 + (\Delta T/2)\). Тогда: \[\Delta p \approx nk\left(T_0 + \dfrac{\Delta T}{2}\right) - p_0 = \dfrac{nk\Delta T}{2} = \dfrac{p_0\Delta T}{2T_0}.\] Следовательно, действующая на шарик средняя сила давления со стороны газа, направленная горизонтально, равна \[F_{\text{д}} \approx \Delta p\pi r^2 \approx \dfrac{p_0\Delta T\pi r^2}{2T_0} \approx 9{,}4\cdot 10^{-9}\text{ Н} \gg F_{\text{изл}},\] так что силой светового давления можно пренебречь по сравнению с радиометрической силой.

В вертикальном направлении на шарик действует сила тяжести: \[F_{\text{т}} = mg = \dfrac{4}{3}\pi r^3\rho g \approx 4{,}1\cdot 10^{-5}\text{ Н}.\] Под действием этих двух сил, уравновешиваемых силой натяжения нити, шарик отклоняется от исходного равновесного положения так, что нить составляет с вертикалью некоторый угол \(\alpha\). Поскольку \(F_{\text{д}} \ll F_{\text{т}}\), то \(\alpha \approx F_{\text{д}}/F_{\text{т}}\), и искомое смещение шарика от положения равновесия: \[\Delta x \approx l\alpha \approx \dfrac{3p_0l\Delta T}{8gr\rho T_0} = \dfrac{3p_0lw_0}{32gr\rho\sigma T_0^4} \approx 0{,}2\text{ мм}.\]