Самолёт и ветер

Скорость самолета относительно земли вдоль \(AB\) складывается из ветра и скорости самолета относительно воздуха; найдите продольную скорость для каждого направления и сравните полное время с углом \(\alpha\).

Ось \(X\) направим вдоль \(AB\) (от \(A\) к \(B\)). Самолет должен всё время держать курс под углом \(\beta\) к оси \(X\), так чтобы результирующая скорость была направлена вдоль \(AB\): \[\vec V_{AB}=\vec u+\vec v_{AB}.\]

Проекция на перпендикулярное направление равна нулю: \(u\sin\alpha-v\sin\beta=0\), откуда \(\sin\beta=\dfrac{u}{v}\sin\alpha\). Тогда \[V_{AB}=u\cos\alpha+v\cos\beta=u\cos\alpha+v\sqrt{1-\frac{u^2}{v^2}\sin^2\alpha}, \qquad t_{AB}=\frac{S}{V_{AB}}.\] Аналогично для обратного пути из \(B\) в \(A\): \[V_{BA}=v\sqrt{1-\frac{u^2}{v^2}\sin^2\alpha}-u\cos\alpha, \qquad t_{BA}=\frac{S}{V_{BA}}.\]

Полное время полета туда и обратно: \[t=t_{AB}+t_{BA}=\frac{2S\,v\sqrt{1-\dfrac{u^2}{v^2}\sin^2\alpha}}{v^2-u^2}.\] При заданных \(v\), \(S\), \(u\) это время максимально, когда \(\sin\alpha=0\), то есть при \(\alpha=0\) или \(\alpha=\pi\). Тогда \[t_{\text{макс}}=\frac{2Sv}{v^2-u^2}.\]