Шарик на вращающемся диске

Решение

A1. Во всей задаче будем использовать следующие векторы:

\[\vec{r}=-r\hat{z}\qquad \Omega=\Omega\hat{z}{.}\]Условие отсутствия проскальзывания состоит в равенстве скоростей в точке касания шара и диска. Таким образом:

\[\vec{v}+\bigl[\vec{\omega}\times\vec{r}\bigr]=\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}\bigr]{.}\]Подставляя \(\vec{r}\) и \(\vec{\Omega}\), находим:

Ответ:

\[\vec{v}=\bigl[\vec{\omega}r+\Omega\vec{R}\times\hat{z}\bigr]{.}\]

A2. Продифференцируем уравнение кинетической связи:

\[\dot{\vec{v}}+\bigl[\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\bigr]+\bigl[\vec{\omega}\times\dot{\vec{r}}\bigr]=\bigl[\dot{\vec{\Omega}}\times\vec{R}\bigr]+\bigl[\vec{\Omega}\times\dot{\vec{R}}\bigr]{.}\]Для производных \(\vec{v}\), \(\vec{r}\), \(\vec{\Omega}\) и \(\vec{R}\) имеем:

\[\dot{\vec{v}}=\vec{a}\qquad \dot{\vec{r}}=0\qquad \dot{\vec{\Omega}}=0\qquad \dot{\vec{R}}=\vec{v}{.}\]Таким образом:

\[\vec{a}+\bigl[\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\bigr]=\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{v}\bigr]{.}\]Пусть \(\vec{F}\) – сила трения, действующая на шар. Запишем теорему о движении центра масс для шара:

\[\vec{F}=m\vec{a}{.}\]Из основного уравнения динамики вращательного движения относительно центра масс шара имеем:

\[I\dot{\vec{\omega}}=\bigl[\vec{r}\times\vec{F}\bigr]\Rightarrow I\bigl[\vec{r}\times\dot{\vec{\omega}}\bigr]=\bigl[\vec{r}\times\bigl[\vec{r}\times\vec{F}\bigr]\bigr]=\vec{r}\bigl(\vec{r}\cdot\vec{F}\bigr)-\vec{F}\bigl(\vec{r}\cdot\vec{r}\bigr){.}\]Поскольку \(\vec{F}\perp\vec{r}\):

\[\vec{F}=\cfrac{I\bigl[\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\bigr]}{r^2}{.}\]Приравнивая выражения для \(\vec{F}\), находим:

\[\bigl[\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\bigr]=\cfrac{mr^2\vec{a}}{I}\Rightarrow \vec{a}\left(1+\cfrac{mr^2}{I}\right)=\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{v}\bigr]{.}\]Таким образом:

\[\vec{a}=\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{v}\bigr]{,}\]или же:

Ответ:

\[\vec{a}=\cfrac{I\bigl[\Omega\hat{z}\times\vec{v}\bigr]}{mr^2+I}{.}\]

A3. Проинтегрируем выражение для ускорения по времени:

\[\int\limits_{0}^t\vec{a}dt=\int\limits_{0}^t\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{v}\bigr]dt\Rightarrow \vec{v}-\vec{v}_0=\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}-\vec{R}_0\bigr]{.}\]Таким образом:

\[\vec{v}=\vec{v}_0-\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}_0\bigr]+\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}\bigr]{,}\]или же:

Ответ:

\[\vec{v}=\vec{v}_0-\cfrac{I\bigl[\Omega\hat{z}\times\vec{R}_0\bigr]}{mr^2+I}+\cfrac{I\bigl[\Omega\hat{z}\times\vec{R}\bigr]}{mr^2+I}{.}\]

A4. Поскольку \(\vec{a}\perp\vec{v}\) – модуль вектора скорости является постоянным, как и модуль вектор ускорения. Это означает, что траекторией центра шара будет являться окружность.

Пусть \(\vec{R}_c\) – радиус–вектор центра окружности, а \(R_t\) – её радиус.

Выражение для радиуса получается легко:

\[|\vec{a}|=\cfrac{v^2_0}{R_t}=\alpha\Omega v_0\Rightarrow R_t=\cfrac{v_0}{\alpha\Omega}{.}\]Определим положение центра окружности. Пусть \(\vec{\omega}_v=\alpha\vec{\Omega}\) – угловая скорость движения центра шара по окружности. Тогда для скорости \(\vec{v}\) можно записать:

\[\vec{v}=\bigl[\vec{\omega}_v\times\vec{R}-\vec{R}_c\bigr]=\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}-\vec{R}_c\bigr]=\vec{v}_0-\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}_0\bigr]+\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}\bigr]{,}\]откуда:

\[-\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}_c\bigr]=\vec{v}_0-\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}_0\bigr]\Rightarrow -\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}_c\bigr]\bigr]=\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{v}_0\bigr]-\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}_0\bigr]\bigr]{.}\]Поскольку \(\vec{\Omega}\perp\vec{R}_0{,}\vec{R}_c\):

\[\vec{R}_c=\vec{R}_0+\cfrac{\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{v}_0\bigr]}{\alpha\Omega^2}{.}\]Окончательно:

Ответ:

\[R_t=\left(1+\cfrac{mr^2}{I}\right)\cfrac{v_0}{\Omega}{.}\]\[\vec{R}_c=\vec{R}_0+\left(1+\cfrac{mr^2}{I}\right)\cfrac{\bigl[\hat{z}\times\vec{v}_0\bigr]}{\Omega}{.}\]

A5. Поскольку \(I=2mr^2/5\), \(\alpha=2/7\). Тогда двум полным оборотам шара всегда соответствует 7 полных оборотов стола, откуда для времени \(t\) находим:

\[t=\cfrac{14\pi}{\Omega}{.}\]Этот случай реализуется всегда, однако при определённом наборе направлений \(\vec{v}_0\) реализуются и другие случаи. Получим их.

Пусть \(\varphi\) – угловое перемещение центра шара к моменту встречи с пятном контакта. Тогда, поскольку \(R_t=R_0\), угловое перемещение стола к этому моменту составит \(\varphi_\text{ст}=2\pi-\varphi+2\pi k\), где \(k\in{N}\).

Записывая выражение для времени двумя способами, получим

\[t=\cfrac{\varphi}{\alpha\Omega}=\cfrac{2\pi(k+1)-\varphi}{\Omega}\Rightarrow \varphi=\cfrac{2\pi\alpha (k+1)}{\alpha+1}{.}\]Отсюда:

\[t=\cfrac{2\pi(k+1)}{\Omega(\alpha+1)}=\cfrac{14\pi(k+1)}{9\Omega}{.}\]Обратим внимание, что ответ, полученный ранее для общего случая, содержится внутри полученного нами сейчас, поэтому:

Ответ:

\[t=\cfrac{14\pi(k+1)}{9\Omega}{.}\]

B1. Воспользуемся решением пункта \(\mathrm{A1}\). Единственное отличие состоит в том, что теперь \(\dot{\Omega}\neq 0\):

\[\vec{a}+\bigl[\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\bigr]=\cfrac{\operatorname{d}\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}\bigr]}{\operatorname{d}t}=\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{v}\bigr]+\bigl[\dot{\vec{\Omega}}\times\vec{R}\bigr]{.}\]Обратим внимание, что теорема о движении центра масс и основное уравнение динамики вращательного движения остаются справедливыми, поэтому:

\[\vec{a}+\bigl[\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\bigr]=\cfrac{\vec{a}}{\alpha}{.}\]Таким образом:

\[\vec{a}=\alpha\left(\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{v}\bigr]+\bigl[\dot{\vec{\Omega}}\times\vec{R}\bigr]\right){.}\]Интегрируя полученное выражение по времени:

\[\vec{v}-\vec{v}_0=\alpha\left(\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}\bigr]-\bigl[\vec{\Omega}_0\times\vec{R}_0\bigr]\right){.}\]Окончательно:

Ответ:

\[\dot{\vec{v}}=\cfrac{I\bigl[\hat{z}\times \Omega\vec{v}+\dot{\Omega}\vec{R}\bigr]}{mr^2+I}{.}\]\[\vec{v}=\cfrac{I\bigl[\hat{z}\times\Omega\vec{R}-\Omega_0\vec{R}_0\bigr]}{mr^2+I}+\vec{v}_0{.}\]

B2. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для диска относительно его центра:

\[I_d\dot{\vec{\Omega}}=\bigl[\vec{R}\times -\vec{F}\bigr]=m\bigl[\vec{a}\times\vec{R}\bigr]{.}\]Подставляя выражение для \(\vec{a}\), получим:

\[I_d\dot{\vec{\Omega}}=\alpha m\left(\bigl[\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{v}\bigr]\times\vec{R}\bigr]+\bigl[\bigl[\dot{\vec{\Omega}}\times\vec{R}\bigr]\times\vec{R}\bigr]\right)=-\alpha m\left(\vec{\Omega}\bigl(\vec{v}\cdot\vec{R}\bigr)+\dot{\vec{\Omega}}R^2\right){.}\]Здесь мы учли, что \(\vec{e}_z\perp\vec{R}\).

Таким образом:

\[\left(I_d+\alpha mR^2\right)\dot{\vec{\Omega}}=-\alpha m\vec{\Omega}\bigl(\vec{v}\cdot\vec{R}\bigr)\Rightarrow \dot{\vec{\Omega}}=-\cfrac{\alpha\vec{\Omega}\bigl(\vec{v}\cdot\vec{R}\bigr)/r^2}{\delta+\alpha R^2/r^2}\]Воспользовавшись выражением для \(\vec{v}\), получим:

Ответ:

\[\dot{\Omega}=-\cfrac{\alpha\Omega\bigl(\bigl(\vec{v}_0-\alpha\bigl[\hat{z}\times\Omega_0\vec{R}_0\bigr]\bigr)\cdot\vec{R}\bigr)/r^2}{\delta+\alpha R^2/r^2}{.}\]

B3. В пункте \(\mathrm{B2}\) было получено уравнение с разделяющимися переменными:

\[\cfrac{d\Omega}{\Omega}=-\cfrac{1}{2}\cfrac{d(\alpha R^2/r^2)}{\delta+\alpha R^2/r^2}{.}\]Интегрируя, получим:

\[\ln\cfrac{\Omega}{\Omega_0}=-\cfrac{1}{2}\ln\cfrac{\delta+\alpha R^2/r^2}{\delta+\alpha R^2_0/r^2}\Rightarrow \Omega=\Omega_0\sqrt{\cfrac{\delta+\alpha R^2_0/r^2}{\delta+\alpha R^2/r^2}}{.}\]Подставляя \(\delta\) и \(\alpha\), получим:

Ответ:

\[\Omega=\Omega_0\sqrt{\cfrac{\cfrac{I_d}{mr^2}+\cfrac{I}{mr^2+I}\cfrac{R^2_0}{r^2}}{\cfrac{I_d}{mr^2}+\cfrac{I}{mr^2+I}\cfrac{R^2}{r^2}}}{.}\]

B4. Максимально возможному значению \(\Omega\) соответствует \(R=0\):

\[\Omega_{max}=\Omega_0\sqrt{1+\cfrac{\alpha}{\delta}\cfrac{R^2_0}{r^2}}{.}\]Таким образом:

Ответ:

\[\Omega_{max}=\Omega_0\sqrt{1+\cfrac{I}{mr^2+I}\cfrac{mr^2}{I_d}\cfrac{R^2_0}{r^2}}{.}\]

B5. Для вертикальной компоненты момента импульса имеем:

\[\hat{z}M_z=I_d\vec{\Omega}+\hat{z}m\bigl[\vec{R}\times\vec{v}\bigr]_z+I\omega_z{.}\]Из основного уравнения динамики вращательного движения относительно центра масс шара следует, что \(\omega_z=const\), поэтому:

\[\hat{z}L=I_d\vec{\Omega}+\hat{z}m\bigl[\vec{R}\times\vec{v}\bigr]_z{.}\]Для скорости \(\vec{v}\) в соответствии с обозначением для \(\vec{c}\) имеем:

\[\vec{v}=\vec{c}+\alpha\bigl[\vec{\Omega}\times\vec{R}\bigr]{,}\]откуда с учётом того, что \(\vec{R}\perp\vec{\Omega}\):

\[\hat{z}L=\left(I_d+\alpha mR^2\right)\vec{\Omega}+m\bigl[\vec{R}\times\vec{c}\bigr]{.}\]Умножая скалярно на \(\hat{z}\), получим:

\[L=(I_d+\alpha mR^2)\Omega+m\hat{z}\cdot\bigl[\vec{R}\times\vec{c}\bigr]{,}\]откуда:

\[\Omega=\cfrac{L-m\hat{z}\bigl[\vec{R}\times\vec{c}\bigr]}{I_d+\alpha mR^2}{.}\]Поскольку система координат \(xyz\) образует правую тройку, имеем:

\[\Omega=\cfrac{L+mcy}{I_d+\alpha mR^2}=\cfrac{L/(mr^2)+cy/r^2}{\delta+\alpha R^2/r^2}=\Omega_0\sqrt{\cfrac{\delta+\alpha R^2_0/r^2}{\delta+\alpha R^2/r^2}}{.}\]Введём обозначения:

\[k=\Omega^2_0(\delta r^2+\alpha R^2_0)\qquad \lambda=L/m{.}\]Возведём последнее выражение в квадрат:

\[\lambda^2+2\lambda cy+c^2y^2=k^2(\delta r^2+\alpha R^2)=k(\delta r^2+\alpha x^2+\alpha y^2){,}\]откуда:

\[\lambda^2-k\delta r^2=k\alpha^2x^2+(k\alpha-c^2)y^2-2\lambda cy\]

Ответ:

C1. Для момента силы Лоренца относительно центра масс шара имеем:

\[\vec{\tau}_s=\bigl[\vec{m}\times\vec{B}\bigr]{,}\]где \(\vec{m}\) – магнитный момент шара.

Магнитный момент системы зарядов определяется с помощью соотношения:

\[\vec{m}=\sum_i\bigl[\vec{r}_i\times\vec{v}_i\bigr]q_i{.}\]В системе, в которой \(q_i\sim m_i\), где \(m_i\) – масса \(i-\text{й}\) частицы, выполняется гиромагнитное соотношение:

\[\vec{m}=\cfrac{\vec{L}q}{2m}{,}\]поэтому для равномерно заряженной сферы:

\[\vec{m}=\cfrac{I\vec{\omega}Q}{2m}=\cfrac{Qr^2\vec{\omega}}{3}{.}\]Таким образом:

\[\vec{\tau}_s=\cfrac{Qr^2\bigl[\vec{\omega}\times\vec{B}\bigr]}{3}{.}\]Тогда теорема о движении центра масс и основное уравнение динамики вращательного движения относительно центра масс шара запишутся следующим образом:

\[\begin{cases} m\vec{a}=\vec{F}+q\bigl[\vec{v}\times\vec{B}\bigr]\\ I\dot{\vec{\omega}}=\bigl[\vec{r}\times\vec{F}\bigr]+\cfrac{Qr^2\bigl[\vec{\omega}\times\vec{B}\bigr]}{3} \end{cases}\]

Ответ:

C2.

C3.

C4.

C5.

Перевод: pho.rs.