Динамика орбиты МКС

Введение

Рис. 1. Международная космическая станция на орбите

В настоящий момент Международная Космическая Станция (сокращённо МКС, англ. ISS — International Space Station) двигается по орбите, близкой к круговой. Минимальное среднее расстояние до Земли при её движении составляет \(370~км\), максимальное — \(460~км\). Станция двигается в термосфере. Плоскость орбиты составляет угол \(\theta = 51.6^\circ\) с плоскостью экватора. Траектория станции похожа на спираль с медленно меняющимся расстоянием от неё до поверхности Земли. Изменение данного расстояния за один оборот вокруг Земли незначительно.

Масса МКС составляет \(M_s = 4.5 \cdot 10^5~кг\), общая длина \(L_s = 109~м\). Огромные солнечные панели шириной \(W_S=73~м\) обеспечивают МКС электрической энергией [Официальный Отчёт NASA (2023)].

С учётом всех батарей и других частей, эффективная площадь поперечного сечения станции составляет приблизительно \(S \approx 2.5 \cdot 10^3~м^2\) [Европейское Космическое Агентство, SDC6-23].

Снижение орбиты МКС связано с несколькими явлениями, уменьшающими энергию орбитального движения. Основными из них являются:

• сопротивление атмосферы, вызванное частыми столкновениями молекул газа со станцией;

• сила Ампера, возникающая при движении проводящих частей МКС в магнитном поле Земли;

• взаимодействие с ионами атомарного кислорода.

«... В мае 2008 высота орбиты МКС составляла 350 километров, станция потеряла 4.5 км высоты, а затем с помощью транспортного грузового космического корабля Прогресс М-64 была поднята на 5.5 км ...» [https://mod.jsc.nasa.gov].

Рис. 2. Высота орбиты МКС (км) в период с 1998 по 2019 год

Рис. 3. Средняя высота орбиты МКС (км) в 2022-2023 годах

«... МКС теряет до 100 м высоты каждый день... » [Данные NASA (2021)]. В 2023 году МКС движется на высоте 410 км, и снижается приблизительно на 70 м в день (\(\sim\) 2 км в месяц). Во время магнитных бурь снижение достигает 300 м. МКС корректирует свою орбиту с помощью своих двигателей, а также двигателей посещающих её аппаратов [Отчёт о МКС (2022)].

Рис. 4. Площадь сечения МКС при взгляде с различных углов (дм\(^2\))

Обозначения и физические постоянные:

• Универсальная газовая постоянная \(R=8.31~Дж\cdot К^{-1} \cdot моль^{-1}\);

• Число Авогадро \(N_A=6.022 \cdot 10^{23}~моль^{-1}\);

• Молярная масса воздуха \(\mu=0.029~кг\cdot моль^{-1}\);

• Масса Земли \(M_E=5.97 \cdot 10^{24}~кг\);

• Радиус Земли \(R_E=6.38 \cdot 10^6~м\);

• Гравитационная постоянная \(G=6.67 \cdot 10^{-11}~м^3 \cdot с^{-2} \cdot кг^{-1}\);

• Плотность воздуха на поверхности Земли \(\rho_0=1.29~кг/м^3\);

• Ускорение свободного падения на поверхности Земли \(g_0=9.81~м\cdot с^{-2}\);

• Средняя величина магнитного поля Земли \(B=5.0 \cdot 10^{-5}~Тл\);

• Модуль заряда электрона \(e=1.60 \cdot 10^{-19}~Кл\).

Часть A. Уточнённая барометрическая формула (2 балла)

Воздух в атмосфере состоит по большей части из нейтральных молекул \(O_2\) и \(N_2\). Воздух подчиняется уравнению Менделеева-Клапейрона: \(pV =M/\mu RT\), где \(p\), \(V\), \(T\), \(M\) и \(\mu\) это давление, объём, температура, масса и молярная масса порции газа соответственно, \(R\) — универсальная газовая постоянная.

Есть два уравнения для вычисления зависимости давления воздуха от высоты. Первое уравнение применимо к стандартной модели тропосферы (высоты \(h<100~км\)). Оно предполагает изменение температуры с высотой.

Второе уравнение относится к стандартной модели термосферы (\(h>250~км\)). В нём температура почти не зависит от высоты. Это уравнение применимо к исследованию движения МКС.

В этой задаче можно считать давление гидростатическим и изотропным (то есть оно действует одинаково по всем направлениям).

A1. Найдите зависимость давления \(p_h\) от высоты \(h\). Зависимость может содержать интегральное выражение. Это уравнение называется основной барометрической формулой.

Подсказка: считайте, что температура и ускорение свободного падения являются функциями \(h\).

Примечание 1. Температура термосферы Земли на высотах \(300 - 600~км\) меняется незначительно и в среднем составляет \(800 - 900~К\) на солнечной стороне [Данные NASA]. Следовательно, при исследовании полёта МКС мы можем считать \(T_h = T = const\). Так как космический корабль проводит почти половину времени полёта с теневой стороны Земли, где температура резко снижается, можно считать, что в среднем на этих высотах температура равна \(T = 425~К\).

Эта температура также соответствует значению плотности воздуха \(\rho_h \sim 10^{-12}~кг/м^3\) на высоте \(h = 400~км\) [Модель Верхних Слоёв Атмосферы Земли MSISE-90].

Рис. 5. Термосфера Земли

A2. Получите стандартную барометрическую формулу: зависимость давления от высоты \(p_h^{sta}\), считая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от \(h\).

Рассчитайте величину \(h_0 = RT/\mu g_0\) при \(T = 425~К\).

A3. Получите уточнённую барометрическую формулу: зависимость давления от высоты \(p_h^{imp}\), считая, что температура постоянна, а ускорение свободного падения зависит от высоты \(h\).

Подсказка: для последнего используйте линейное приближение, считая \(z_h = h/R_E \ll 1.\)

A4. Рассчитайте отношение значений давлений, вычисленных по стандартной и по уточнённой барометрическим формулам при \(h = 4.0 \cdot 10^5~м\). Далее используйте уточнённую формулу.

A5. Найдите плотность воздуха \(\rho_h\) и концентрацию нейтральных молекул воздуха \(n_h\) на высоте \(h\), используя линейное приближение.

Часть B. Орбитальное замедление и скорость снижения станции (3 балла)

Пусть на станцию массой \(M_S\) действует постоянная тормозящая сила \(\vec{F}_{drag}\). В этой части задачи оценивается скорость уменьшения высоты орбиты МКС. Считайте, что изменение высоты \(\mathrm{d}h\) значительно меньше высоты полёта \(h\) (\(\mathrm{d}h \ll h\)).

B1. Найдите скорость станции \(v_h\) и период обращения \(\tau_h\), если станция движется по орбите высотой \(h\).

B2. Найдите полную энергию \(E_S\) станции, двигающейся по круговой орбите радиусом \(R_E + h\).

B3. На станцию действует некоторая суммарная тормозящая сила \(\vec{F}_{drag}\). В результате МКС замедляется, и высота её орбиты уменьшается на \(\mathrm{d}h\) за малое время \(\mathrm{d}t\). Запишите закон изменения энергии МКС, считая известным значение \(F_{drag}\).

B4. Найдите скорость снижения станции \(u_h\).

Подсказка: скорость снижения зависит от силы трения, от высоты станции и от её массы.

B5. Найдите изменение высоты \(H_h\) станции за один оборот вокруг Земли и полное время \(T_h\), за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты \(h\).

Подсказка: используйте соотношения \(h_0 \ll h \ll R_E\).

Часть С. Сопротивление атмосферы (1 балл)

Скорость станции \(v\) во много раз больше чем средние скорости (сотни \(м/с\)) теплового движения молекул в атмосфере на высоте \(h \approx 300 - 400~км\), то есть можно считать, что молекулы покоятся перед столкновением с МКС. Для грубой оценки считайте, что после столкновения молекулы приобретают такую же скорость, что и станция.

C1. Найдите силу сопротивления воздуха \(F_{air}\), скорость уменьшения высоты орбиты \(u_h^{air}\) и изменение высоты за один оборот \(H^{air}_h\) в этом случае.

C2. Найдите полное время \(T_h^{air}\), за которое станция упадёт на поверхность Земли с начальной высоты \(h\) из-за сопротивления атмосферы.

Подсказка: используйте соотношения \(h_0 \ll h \ll R_E\).

Часть D. Учёт атомарного кислорода (1 балл)

В термосфере под действием излучения воздух ионизируется (из-за чего, например, возникает «северное сияние»). В отличие от кислорода \(O_2\), азот \(N_2\) не диссоциирует под действием солнечного излучения, поэтому в верхних слоях атмосферы атомарного азота \(N\) гораздо меньше, чем атомарного кислорода \(O\). На высотах больше \(250~км\) преобладает атомарный кислород \(O\). Слои, содержащие электроны и ионы атомов кислорода, возникают на освещенной стороне атмосферы. В этом случае концентрация ионов атомарного кислорода составляет \(n_{ion} \sim 10^{12}~м^{-3}\).

D1. Найдите среднюю (за 24 часа) тормозящую силу \(F_{ion}\), обусловленную столкновениями с этими частицами. Ночью ионизацией молекул можно пренебречь.

Найдите также плотность ионизированных молекул кислорода \(\rho_{ion}\).

D2. Найдите скорость уменьшения высоты орбиты станции \(u_h^{ion}\), связанную со взаимодействием с ионами атомарного кислорода. Найдите также изменение высоты за один оборот \(H_h^{ion}\) в этом случае.

Подсказка: используйте соотношения \(h_0 \ll h \ll R_E\).

Часть E. Торможение магнитным полем Земли (2 балла)

Рассмотрим влияние магнитного поля Земли на движение станции. Магнитное поля Земли вблизи поверхности изменяется в диапазоне \((3.5 - 6.5) \cdot 10^{-5}~Тл\) , среднее значение составляет \(B = 5 \cdot 10^{-5}~Тл\).

Когда станция движется с большой скоростью в магнитном поле, в её проводящих элементах возникает электрический ток. Электродвижущая сила вызывает перераспределение электрических зарядов в проводящих элементах станции. Электрическое поле вблизи станции приводит к движению заряженных частиц в окружающем её пространстве. Электроны притягиваются к частям станции, у которых положительный потенциал (относительно средней части станции), а ионы притягиваются к частям с отрицательным потенциалом. Электроны и ионы, сталкиваясь с поверхностью станции, стремятся собираться в нейтральные атомы кислорода. Эти электроны, которые движутся по проводящим частям станции, и создают электрический ток. Станция, двигаясь в космосе, «собирает» электроны и ионы из окружающего пространства, сталкиваясь с ними.

Для грубой оценки тока, возникающего в проводящих частях станции, считайте, что она «собирает» частицы только с площади, эквивалентной площади поперечного сечения станции \(S\). Также считайте, что все ионы и электроны участвуют в создании тока.

E1. Оцените величину возникающего в проводящих частях станции тока \(I_{ind}\).

E2. Получите приближённое выражение для тормозящей силы Ампера \(F_{ind}\) в направлении, противоположном направлению движению станции.

Пусть \(\phi\) — угол между магнитным полем Земли \(\vec{B}\), направленным вдоль меридианов, и скоростью МКС \(\vec{v}\). Для простоты считайте, что длина станции \(L\) равна корню квадратному из её площади \(S\). Кроме того, вместо подсчёта среднего значения \(\sin(\phi)\) вы можете аппроксимировать его значением \(\sin(\pi/2 - \theta)\). Вы можете использовать дискретное число точек для подсчёта среднего значения.

E3. Найдите скорость снижения станции из-за её взаимодействия с магнитным полем Земли. Найдите также изменение высоты за один оборот \(H_h^{ind}\) в этом случае.

Подсказка: используйте соотношение \(h \ll R_E\).

Часть F. Численные расчёты и выводы (1 балл)

F1. Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 1 в листе ответов.

F2. Рассчитайте необходимые величины и заполните Таблицу 2 в листе ответов.

F3. МКС обращается по орбите на высотах выше \(380~км\). Расположите три рассмотренных эффекта торможения станции в порядке убывания их влияния.