Картезианский водолаз

Воздух в трубке сжимается изотермически (закон Бойля — Мариотта), а его давление равно \(P_0\) плюс давление столба воды над уровнем воды внутри трубки. Сила Архимеда — вес вытесненной воды, то есть воздуха, оказавшегося ниже уровня воды в сосуде.

1.1) \(x(z)=\dfrac{P_0+z+L}{2}-\sqrt{\dfrac{(P_0+z+L)^2}{4}-zL}\) (монотонно растёт, стремясь к \(L\));  1.2) \(F_A=\rho g s(z-x)\) при \(z<L\), \(F_A=\rho g s(L-x)\) при \(z>L\);  1.3) максимум при \(z=L\): \(F_{A\max}=\rho g s\left(\sqrt{\dfrac{P_0^2+4P_0L}{4}}-\dfrac{P_0}{2}\right)\);  1.4) \(F_A=\bigl(P-P_0-\rho g(z-L)\bigr)s\);  1.5) \(z_1=\dfrac{1-\eta}{\eta}P_0\approx2{,}5\) м.

Часть 1. Вынужденное погружение.

1.1 Так как температура воздуха в трубке и его масса не изменяются, то для этого воздуха справедлив закон Бойля — Мариотта: \[P_0 L = P (L - x).\tag{1}\] С другой стороны, давление воздуха в трубке можно выразить через гидростатическое давление воды (давление измеряется в метрах водяного столба): \[P = P_0 + z - x.\tag{2}\] В этих уравнениях две неизвестные величины: давление воздуха в трубке \(P\) и высота \(x\), поэтому система может быть решена: \[\begin{aligned} P_0 L &= (P_0 + z - x)(L - x) \;\Rightarrow\; x^2 - (P_0 + z)x - Lx + (P_0 + z)L - P_0 L = 0 \;\Rightarrow\\ &\Rightarrow\; x^2 - (P_0 + z + L)x + zL = 0 \;\Rightarrow\; x_{1,2} = \frac{P_0 + z + L}{2} \pm \sqrt{\frac{(P_0 + z + L)^2}{4} - zL}. \end{aligned}\tag{3}\] Из двух корней следует выбрать корень со знаком минус: при \(z = 0\) высота \(x\) также должна равняться нулю. Поэтому окончательно \[x(z) = \frac{P_0 + z + L}{2} - \sqrt{\frac{(P_0 + z + L)^2}{4} - zL}.\tag{4}\] Схематический график этой зависимости: при увеличении \(z\) величина \(x\) монотонно растёт, стремясь к \(L\).

1.2 Силу Архимеда можно выразить как вес вытесненной воды. Необходимо рассмотреть два случая.

А) Глубина погружения меньше длины пробирки, \(z < L\): \[F_A = \rho g s (z - x).\tag{5}\] Так как \(x\) растёт медленнее, чем \(z\), то в этом случае сила Архимеда возрастает при увеличении \(z\).

Б) Глубина погружения больше длины пробирки, \(z > L\): \[F_A = \rho g s (L - x).\tag{6}\] В этом случае сила Архимеда с ростом \(z\) убывает. График: сначала рост почти линейный до \(z = L\), затем плавное убывание.

1.3 Сила Архимеда принимает максимальное значение при \(z = L\). Как следует из (4), при этом \[x = \frac{P_0 + 2L}{2} - \sqrt{\frac{P_0^2 + 4P_0 L}{4}},\] а максимальное значение силы Архимеда \[F_{A\max} = \rho g s (L - x) = \rho g s \left(\sqrt{\frac{P_0^2 + 4P_0 L}{4}} - \frac{P_0}{2}\right).\tag{7}\] Заметим, что при \(P_0 \gg L\) это максимальное значение стремится к \(\rho g s L\): изменением давления воздуха в трубке при погружении можно пренебречь, и воздух занимает всю трубку.

1.4 Силу Архимеда можно выразить как разность сил давлений на закрытый верхний торец трубки: \[F_A = \bigl(P - (P_0 + \rho g (z - L))\bigr)s,\tag{8}\] что, конечно, равносильно использованному ранее подходу.

1.5 На графике зависимости \(F_A(z)\) отметим уровень силы тяжести \(mg\). Вертикальная линия \(z = \eta L\) пересекает график в точке, где сила Архимеда равна силе тяжести; горизонтальная линия на этом уровне пересекает вторую ветвь графика в точке, абсцисса которой и есть искомая глубина \(z_1\). Положение равновесия в точке \(z_1\) неустойчиво: если глубина погружения станет чуть больше, трубка утонет. Следовательно, надо решить уравнение \[F_A(\eta L) = F_A(z_1).\tag{9}\] Используя формулы для силы Архимеда, получаем \[(z - x)_0 = L - x(z_1) \;\Rightarrow\; h_0 = L - \frac{P_0 + z + L}{2} + \sqrt{\frac{(P_0 + z + L)^2}{4} - zL},\tag{10}\] где \(h_0\) — высота столбика воздуха в трубке, когда она плавает на поверхности: \[h_0 = (z - x)_0 = \eta L - \frac{P_0 + \eta L + L}{2} - \sqrt{\frac{(P_0 + \eta L + L)^2}{4} - \eta L^2}.\tag{11}\] Это уравнение очень громоздко. Однако при заданных значениях \(L \ll P_0\) (\(P_0 = 10\) м, \(L = 0{,}10\) м) можно пренебречь изменением давления на высоте трубки; тогда \(h_0 \approx L\) и сила тяжести трубки \(mg = \rho g s \eta L\). При погружении на глубину \(z\) давление в трубке становится равным \(P_0 + z\), и высота столба воздуха \[P_0 L = (P_0 + z)h \;\Rightarrow\; h = \frac{P_0 L}{P_0 + z}.\tag{12}\] Сила Архимеда должна стать равной силе тяжести: \[\rho g s h = \rho g s \eta L \;\Rightarrow\; \frac{P_0 L}{P_0 + z} = \eta L.\tag{13}\] Отсюда \[z_1 = \frac{1 - \eta}{\eta}P_0 = 2{,}5\ \text{м}.\tag{14}\]

Часть 2. Решается аналогично, только в записанных уравнениях следует рассматривать зависимость параметров не от \(z\), а от давления воздуха в сосуде \(P_1\).

Часть 3. Конструкторская. Часть предоставляет богатые возможности для творчества. Основные идеи: поместить трубку в закрытый сосуд и предварительно наполнить её водой так, чтобы она плавала «на грани» — при незначительном изменении объёма сосуда (а следовательно, и объёма воздуха в трубке) трубка начинала тонуть.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.