Привязанная тележка

Нить нерастяжима: скорость, с которой укорачивается участок нити, равна проекции скорости тележки на направление нити.

1.1) \(u_1=v/\cos\alpha\);  1.2) \(u_2=v\), \(u_3=v/\cos35^\circ\approx1{,}22\,v\);  2.1) \(u_4=\dfrac{v}{1+\cos\alpha}\);  2.2) \(u_5=v/2=0{,}75\) м/с, \(u_6=\dfrac{v}{1+\cos35^\circ}=0{,}82\) м/с;  3.1) \(u_7=v\).

Часть 1. «Высокий блок»

1.1 За малый промежуток времени \(\Delta t\) тележка сместится вправо по горизонтали на расстояние \(u_1 \Delta t\). При этом длина нити уменьшится на величину \(v \Delta t\). Из соответствующего прямоугольного треугольника получаем \[v \Delta t = u_1 \Delta t \cos \alpha.\tag{1}\] Из (1) находим искомую зависимость \[u_1(\alpha) = \frac{v}{\cos \alpha}.\tag{2}\]

1.2 Используя (2), найдём скорости тележки на бесконечности (\(\alpha = 0^\circ\)) и при \(\alpha = 35^\circ\): \[u_2 = v,\qquad u_3 = \frac{v}{\cos 35^\circ}\approx 1{,}22\,v.\]

Часть 2. «Подвижный блок»

2.1 Поскольку нить \(ABC\) нерастяжима, то длина ломаной \(ABC\) при движении тележки остаётся постоянной. Следовательно, уменьшение длины одного звена ломаной за некоторый промежуток времени должно равняться увеличению длины её второго звена.

Пусть за небольшой промежуток времени \(\Delta t\) тележка сместится вправо на расстояние \(u \Delta t\). При этом длина участка \(AB\) нити уменьшится на величину (Рис. 2) \[\Delta l_{AB} = u \Delta t \cos \alpha.\tag{5}\] С другой стороны, длина участка \(BC\) нити за этот же промежуток времени увеличится на \(\Delta l_{BC}\): \[\Delta l_{BC} = (v - u) \Delta t.\tag{6}\] Приравнивая (5) и (6) по условию нерастяжимости нити, получим \[\Delta l_{AB} = \Delta l_{BC} \quad \Rightarrow \quad u \Delta t \cos \alpha = (v - u) \Delta t.\tag{7}\] Из (7) находим искомую зависимость \(u_4(\alpha)\): \[u_4(\alpha) = \frac{v}{1 + \cos \alpha}.\tag{8}\]

2.2 Используя (8), найдём скорости тележки на бесконечности и при \(\alpha = 35^\circ\): \[u_5 = u_4(0^\circ) = \frac{v}{1 + \cos 0^\circ} = \frac{v}{2} = 0{,}75\ \frac{\text{м}}{\text{с}},\tag{9}\] \[u_6 = u_4(35^\circ) = \frac{v}{1 + \cos 35^\circ} = 0{,}82\ \frac{\text{м}}{\text{с}}.\tag{10}\] Заметим, что значение (9) можно было найти и без использования (8), поскольку \(u_5\) соответствует случаю подвижного блока, на котором «проигрывают» в скорости в два раза.

Часть 3. «Низкий блок»

3.1 Данная часть задачи самая простая: при такой схеме вытяжки тележки её скорость независимо от угла \(\alpha\) всегда равна по модулю скорости нити.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.