Амперметр, вольтметр, омметр и пр.

Электростатический вольтметр: найди силу как производную энергии системы вместе с источником по смещению, \(F=U^2/2\cdot dC/dx\). Омметр: сделай ток через измеряемый резистор почти постоянным (большое последовательное сопротивление) и измеряй напряжение на нём.

1.1) \(\varphi_0=90^\circ\) (линии поля лежат в плоскости рамки);  1.2) последовательный резистор \(R\gg r\), \(I=U/R\), диапазон \([RI_{\min},RI_{\max}]\);  1.3) источник \(U_0\) с \(R_0\), \(R_0\gg R_V\gg R_x\), \(I_G=\dfrac{U_0}{R_0R_V}R_x\);  2.1) \(F=\dfrac{\varepsilon_0 l}{2d}U^2\);  2.2) \(x=\dfrac{\varepsilon_0 l}{2dk}U^2\);  2.3) пластина с \(\dfrac{dS}{dx}=\gamma\sqrt{x}\);  3.1) нуль;  3.2) \(U_V=U_0\left(\dfrac{R_2}{R_1+R_2}-\dfrac{C_x}{C_1+C_x}\right)\);  3.3) \(\dfrac{R_2}{R_1}=\dfrac{C_x}{C_1}\).

Часть 1. Приборы магнитоэлектрической системы.

1.1 При пропускании тока через рамку на неё действуют моменты сил со стороны магнитного поля и со стороны пружины, и рамка переходит в новое положение равновесия: \[IBS\sin(\varphi_0 + \delta) = k\delta,\tag{1}\] где \(\delta\) — угол отклонения стрелки от «нулевого» положения. Для линейности прибора нужно, чтобы момент со стороны магнитного поля слабо зависел от поворота рамки. Это выполняется при \(\varphi_0 = 90^\circ\): тогда \(\sin(\varphi_0 + \delta) = \cos\delta \approx 1\). Иными словами, в положении равновесия нормаль к рамке должна быть перпендикулярна линиям магнитного поля (линии поля лежат в плоскости рамки). При такой ориентации момент силы максимален, что повышает чувствительность гальванометра.

1.2 Чтобы превратить гальванометр в вольтметр, к нему последовательно подключают дополнительный резистор большого сопротивления \(R\) (значительно превышающего сопротивление элемента, на котором измеряется напряжение). Сила тока через гальванометр \[I = \frac{U}{R}.\tag{2}\] Диапазон измеряемых напряжений лежит в интервале \([R I_{\min}, R I_{\max}]\). Схема работает строго в линейном режиме.

1.3 Так как гальванометр измеряет силу тока, омметр должен содержать источник тока. Напряжение на измеряемом резисторе пропорционально его сопротивлению, поэтому желательно, чтобы сила тока в цепи этого резистора не зависела от его сопротивления: нужен источник с большим внутренним сопротивлением (резистор \(R_0\) с большим сопротивлением в цепи источника \(U_0\)). Далее измеряют напряжение на измеряемом резисторе по схеме вольтметра (\(R_V\) — сопротивление в цепи вольтметра). Между сопротивлениями должно выполняться \(R_0 \gg R_V \gg R_x\). При этом сила тока через гальванометр \[I_G = \left(\frac{U_0}{R_0}R_x\right)\frac{1}{R_V} = \left(\frac{U_0}{R_0 R_V}\right) R_x\tag{3}\] и пропорциональна измеряемому сопротивлению.

Часть 2. Электростатический вольтметр.

2.1 Пластины электродов в области перекрытия можно рассматривать как конденсатор, ёмкость которого зависит от смещения подвижной пластины: \[C = \frac{\varepsilon_0 l (x + x_0)}{d}.\tag{4}\] При измерении конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения \(U\), поэтому энергия конденсатора \[W_C = \frac{CU^2}{2}.\tag{5}\] При втягивании подвижного электрода ёмкость растёт, и энергия конденсатора тоже растёт — кажущийся парадокс: пластина должна выталкиваться. Но конденсатор не замкнут, он подключён к источнику: при увеличении ёмкости увеличивается заряд, источник совершает работу по зарядке конденсатора, и его энергия уменьшается: \[W_U = -A = -qU = -CU^2.\tag{6}\] Полная энергия системы \[W = W_C + W_U = -\frac{CU^2}{2}.\tag{7}\] При втягивании подвижной пластины суммарная энергия уменьшается, поэтому на пластину действует сила, направленная к неподвижному электроду: \[F = -\frac{\Delta W}{\Delta x} = \frac{U^2}{2}\frac{\Delta C}{\Delta x} = \frac{\varepsilon_0 l}{2d}U^2.\tag{8}\]

2.2 В положении равновесия эта сила компенсируется силой упругости пружины: \[\frac{\varepsilon_0 l}{2d}U^2 = kx,\tag{9}\] откуда смещение пластины \[x = \frac{\varepsilon_0 l}{2dk}U^2.\tag{10}\]

2.3 Зависимость смещения от напряжения нелинейная. Для линеаризации можно заменить прямоугольные пластины пластиной более «хитрой» формы: нужно добиться выполнения условия \(\dfrac{dS}{dx} = \gamma\sqrt{x}\). Такая геометрическая задача может быть решена.

Часть 3. «Фарадометр»

3.1 Если в цепи подключён вольтметр магнитоэлектрической системы, его показания равны нулю: после зарядки конденсаторов ток через вольтметр прекращается.

3.2 Так как ток через электростатический вольтметр не течёт, верхнюю (с резисторами) и нижнюю (с конденсаторами) ветви моста можно рассматривать независимо. Примем потенциал точки \(D\) равным нулю. Тогда потенциал точки \(A\) \[\varphi_A = IR_2 = U_0\frac{R_2}{R_1 + R_2}.\tag{11}\] Потенциал точки \(B\) равен напряжению на конденсаторе \(C_1\). Его находим, рассматривая два последовательно соединённых конденсатора: \[\begin{cases} C_1 U_1 = C_x U_x,\\ U_1 + U_x = U_0\end{cases}\Rightarrow\; U_1 = U_0\frac{C_x}{C_1 + C_x}.\tag{12}\] Показания вольтметра: \[U_V = U_0\left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{C_x}{C_1 + C_x}\right).\tag{13}\]

3.3 Мост сбалансирован при «симметричном» условии: \[\frac{R_2}{R_1} = \frac{C_x}{C_1}.\tag{14}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.