И покой, и скольжение

Пока сила чуть превышает максимум трения покоя, брусок сначала «срывается» с места, а как только сила меняет знак, начинает тормозиться почти вдвое сильнее. Для досок выясните по порядку: когда начнёт двигаться каждая доска и когда начнётся проскальзывание между ними.

А. Анализ показывает, что в каждый момент времени брусок двигается с ускорением, которое по абсолютной величине может быть равно \(a_1 \approx (\mu_r - \mu_s)\,g = 1\text{ м/с}^2\) или \(a_2 \approx (\mu_r + \mu_s)\,g = 9\text{ м/с}^2\). Спустя длительное время после начала процесса установится квазистационарный режим, и проекция скорости бруска в зависимости от времени будет меняться периодически. В течение периода за время \(\tau = \dfrac{T}{20}\) модуль скорости бруска уменьшается от значения \(u\) до нуля, а затем за время \(9\tau\) увеличивается от нуля до \(u\) (см. рисунок ниже, \(\tau = 0{,}2\text{ с}\)). Значение максимальной скорости в квазистационарном режиме равно \(u = 1{,}8\text{ м/с}\).

Можно дать доказательство того факта, что спустя длительное время после начала процесса устанавливается квазистационарный режим. Действительно, обозначим \(v_k\) "— значение модуля скорости бруска спустя время \(\dfrac{kT}{2}\) после начала процесса. Справедливо рекуррентное соотношение \[v_{k+1} = 2\text{ м/с} - \frac{v_k}{9}, \tag{1}\] при этом \(v_1 = 2\text{ м/с}\). Введём обозначение \(w_k = v_k - u\), где \(u = 1{,}8\text{ м/с}\). Из формулы (4) следует соотношение \[w_{k+1} = -\frac{w_k}{9},\] а из него формула для \((k+1)\)-го члена последовательности \[w_{k+1} = 0{,}2\cdot\frac{(-1)^k}{9^k},\] которая является убывающей геометрической прогрессией. Легко видеть, что предел последовательности \(\{w_k\}\) при \(k \to \infty\) равен нулю. Это означает, что при больших \(k\) значение \(v_k\) стремится к \(u\).

Б. Б1) Сразу заметим, что нижняя доска при любом значении внешней силы будет оставаться в покое, поскольку максимальное значение силы трения покоя, действующей на неё со стороны стола, равно \(2\mu_r mg\), а максимальная сила, действующая на нижнюю доску со стороны верхней равна \(\mu_r mg\). Таким образом, при значении внешней силы меньше \(\mu_r mg\) ускорение верхней доски равно нулю, а при значении больше \(\mu_r mg\) равно \[a(t) = \frac{\mu_r g t}{t_0} - \mu_s g. \tag{2}\] Искомый график изображён на рисунке, представленном ниже.

Б2) В этом случае движение начнётся, когда внешняя сила станет больше значения \(2\mu_r mg = mg\), это произойдёт в момент времени \(t_1 = 2t_0\), далее верхняя доска будет двигаться совместно с нижней с ускорением, даваемым формулой \(a(t) = \dfrac{\mu_r g t}{2t_0} - \mu_s g\), похожей на формулу (5). Позднее в некоторый момент времени начнётся проскальзывание верхней доски по нижней. Значение внешней силы в этот момент будет удовлетворять соотношению \[\frac{F - 2\mu_s mg}{2m}\cdot m = \mu_r mg. \tag{3}\] Решив уравнение (6), находим критическое значение силы \(F = 2\,(\mu_s + \mu_r)\,mg = 1{,}8\,mg\). Этого значения сила достигает в момент времени \(t = 3{,}6t_0\). Далее нижняя доска будет двигаться с ускорением, большим ускорения верхней доски. Зависимость ускорения нижней доски от времени в этом случае будет задаваться формулой \[a(t) = \frac{\mu_r g t}{t_0} - 3\mu_s g. \tag{4}\] Искомый график можно видеть на рисунке, представленном ниже.