Гелий в цилиндр с поршнем

Работа газа идёт на сдвиг поршня против атмосферы; запишите первое начало для газа и уравнение баланса энергии для поршня.

1) Пусть \(\nu\) — число молей газа, \(S\) и \(x\) — площадь и перемещение поршня. Первое начало термодинамики для газа (адиабатический процесс, \(Q = 0\)): \[0 = \nu C_V (T_2 - T_1) + A,\] где \(C_V\) — молярная теплоёмкость при постоянном объёме, \(A\) — работа газа. Баланс энергии для поршня (его механическая энергия не меняется): \[0 = A - P_0 S x.\] Работа газа \(A = P_0 S x\) (работа силы атмосферного давления отрицательна).

Выразим работу через температуры. Уравнения состояния: \[P_1 V_1 = \nu R T_1, \qquad P_0 (V_1 + Sx) = \nu R T_2 \quad\Rightarrow\quad P_0 V_1 + A = \nu R T_2.\] Так как \(P_1 = kP_0\), то \(P_0 V_1 = \dfrac{\nu R T_1}{k}\), и \[A = \nu R T_2 - \frac{\nu R T_1}{k}.\] Подставляя в первое начало, получаем \[0 = \nu C_V T_2 - \nu C_V T_1 + \nu R T_2 - \frac{\nu R T_1}{k} \quad\Rightarrow\quad T_2 = T_1\,\frac{kC_V + R}{k\,C_P}, \qquad C_P = C_V + R.\]

2) Приращение объёма газа: \(\Delta V = Sx = \dfrac{A}{P_0} = \dfrac{\nu R}{P_0}\left(T_2 - \dfrac{T_1}{k}\right)\). Отношение: \[\frac{\Delta V}{V_1} = \frac{k T_2}{T_1} - 1 = \frac{k-1}{\gamma}, \qquad \gamma = \frac{C_P}{C_V}.\]

Для одноатомного гелия \(C_V = \dfrac{3R}{2}\), \(C_P = \dfrac{5R}{2}\), \(\gamma = \dfrac{5}{3}\): \[T_2 = T_1\,\frac{3k+2}{5k} = 210\text{ К}, \qquad \frac{\Delta V}{V_1} = \frac{3(k-1)}{5} = 1{,}8.\] Уравнение адиабаты здесь применять нельзя: процесс необратим (при расчёте по нему получилось бы \(172\text{ К}\), что заметно отличается от правильного значения \(210\text{ К}\)).