Задачи › Энергия вращения

Обруч на нити с грузом

  1. Обруч на нити с грузом

    Курчатов 2024/25, 10 кл.
    6/10

    Блок, представляющий собой тонкий обруч с невесомыми спицами, может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр \(O\). Масса обруча \(m_1 = 0{,}1\text{ кг}\) равномерно распределена по его длине. К оси блока подвешен груз массой \(m_2 = 0{,}3\text{ кг}\). Нижняя половина блока охватывается невесомой и нерастяжимой нитью с вертикальными концевыми участками. Левый участок закреплён на потолке в точке \(A\), а правый поднимают вверх, действуя на него постоянной силой \(F = 2{,}1\text{ Н}\). Считая, что при движении нить не скользит по блоку, найдите следующие величины:

    1. Ускорение центра блока \(a\).

    2. Отношение \(x = \Delta T/F\), где \(\Delta T = F - T\), \(T\) — сила натяжения левого участка нити. Числовое значение \(x\) округлите до сотых.

    Ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Выразите скорость точки правого участка нити через скорость оси блока. Затем запишите баланс энергии системы и второй закон Ньютона для системы блок + груз.

    Ответ

    1) \(a = \dfrac{2F - (m_1+m_2)g}{2m_1+m_2} = 0{,}4\text{ м/с}^2\);  2) \(x = 0{,}02\).

    Решение

    1) Пусть \(V\) — мгновенная скорость оси блока и груза, \(\omega\) — мгновенная угловая скорость блока, \(r\) — его радиус. Точка \(B\) блока касается левого вертикального участка нити, скорость которого равна нулю, и нить не скользит по блоку, поэтому \(V_B = V - \omega r = 0\), откуда \(\omega r = V\). Для точки \(C\) правого участка нити \(V_C = V + \omega r = 2V\).

    2) Полная механическая энергия системы блока, нити и груза. Кинетическая энергия обруча массой \(m_1\), катящегося без проскальзывания по неподвижному участку нити \(AB\), равна \(m_1 V^2\). Поэтому \[E = \left(m_1 + \frac{m_2}{2}\right)V^2 + m_1 g h_1 + m_2 g h_2,\] где \(h_1\) и \(h_2\) — высоты оси обруча и центра масс груза над полом.

    3) За малое время \(\Delta t\) баланс энергии: \[\Delta E = F\,V_C\,\Delta t = 2FV\,\Delta t.\] Сила натяжения верхнего участка в точке \(A\) не совершает работы, а силы трения между блоком и нитью — силы трения покоя с суммарной работой ноль. Приращение энергии с учётом \(\Delta(V^2) = 2V\Delta V\), \(\Delta h_1 = \Delta h_2 = V\Delta t\): \[\Delta E = (2m_1 + m_2)\,V a\,\Delta t + (m_1+m_2)\,g V\,\Delta t, \qquad a = \frac{\Delta V}{\Delta t}.\] Приравнивая, получаем \[a = \frac{2F - (m_1+m_2)g}{2m_1 + m_2} = 0{,}4\text{ м/с}^2.\]

    4) Второй закон Ньютона для системы блок + груз + нижний участок нити: \[(m_1+m_2)\,a = T + F - (m_1+m_2)\,g.\] Отсюда \(\Delta T = F - T = m_1 a\), и \[x = \frac{\Delta T}{F} = \frac{m_1 a}{F} = 0{,}02.\]

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх