Солнечные сутки на планете

Полдень для наблюдателя наступает, когда направления «центр Солнца — центр планеты» и «центр планеты — наблюдатель» противоположны. Сравните углы поворота обоих векторов за время между такими моментами.

Поместим начало координат в центр Солнца и введём единичный вектор \(\vec n_1\), направленный вдоль отрезка, соединяющего центры Солнца и планеты, и единичный вектор \(\vec n_2\), жёстко связанный с планетой и направленный от её центра к точке на экваторе (наблюдателю). Ось \(x\) направим вдоль \(\vec n_1\) в момент полудня, когда векторы противоположны, ось \(y\) — в сторону орбитального движения планеты. За время \(t\) векторы повернутся на углы \(\alpha = \omega_1 t\) и \(\beta = \omega_2 t\), где \(\omega_1 = \dfrac{2\pi}{T_1}\), \(\omega_2 = \dfrac{2\pi}{T_2}\). Координаты векторов: \[\vec n_1 = (\cos\alpha,\ \sin\alpha), \qquad \vec n_2 = (-\cos\beta,\ \sin\beta).\] Следующий полдень наступит, когда векторы снова окажутся противоположно направленными, то есть \(\vec n_1\cdot\vec n_2 = -1\): \[-\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = -1 \quad\Rightarrow\quad \cos(\alpha+\beta) = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha + \beta = 2\pi n.\] Отсюда \(t\left(\dfrac{2\pi}{T_1} + \dfrac{2\pi}{T_2}\right) = 2\pi n\), то есть \[t = \frac{T_1T_2}{T_1+T_2}\, n, \qquad n \in \mathbb{Z}.\] Продолжительность солнечных суток — наименьшее положительное \(t\), при \(n = 1\): \[T = \frac{T_1T_2}{T_1+T_2} = 130 \text{ суток}.\]

Количества оборотов за время \(T\): \[N_1 = \frac{T}{T_1} = \frac{T_2}{T_1+T_2} = 0{,}57, \qquad N_2 = \frac{T}{T_2} = \frac{T_1}{T_1+T_2} = 0{,}43.\] Сумма \(N_1 + N_2\) равна единице.