Пять пластин с диэлектриком

Используйте симметрию относительно пластины 3 и условие, что разность потенциалов между пластинами одной обкладки равна нулю.

Пусть положительный полюс батареи подключён к точке \(A\). Обозначим через \(q\) суммарный заряд пластин 2 и 4; тогда суммарный заряд пластин 1, 3 и 5 равен \(-q\). В силу зеркальной симметрии относительно пластины 3: \[q_2 = q_4 = \frac{q}{2}, \qquad 2q_1 + q_3 = -q.\] Введём поверхностные плотности \(\sigma_i = q_i/S\), \(\sigma = q/S\) (\(S\) — площадь пластин): \[\sigma_2 = \sigma_4 = \frac{\sigma}{2}, \qquad 2\sigma_1 + \sigma_3 = -\sigma.\] Пронумеруем области между пластинами римскими цифрами I–IV и направим ось \(x\) от пластины 1 к пластине 5. Проекции напряжённости поля: \[E_I = -\frac{\sigma + \sigma_3}{2\varepsilon_0}, \qquad E_{II} = -\frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0\varepsilon}, \qquad E_{III} = \frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0\varepsilon}, \qquad E_{IV} = \frac{\sigma + \sigma_3}{2\varepsilon_0},\] где \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная.

Разность потенциалов между пластинами 2 и 4 равна нулю автоматически, в силу \(E_{II} = -E_{III}\). Пластины 1 и 3 принадлежат одной обкладке, поэтому их разность потенциалов тоже равна нулю: \[E_I d + E_{II} d = 0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{\sigma + \sigma_3}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0\varepsilon} = 0 \quad\Rightarrow\quad \sigma_3 = -\frac{\varepsilon}{\varepsilon+1}\,\sigma.\] Тогда из \(2\sigma_1 + \sigma_3 = -\sigma\) получаем \(\sigma_1 = -\dfrac{\sigma}{2(\varepsilon+1)}\).

Отношения зарядов пластин: \[\frac{q_1}{q_2} = \frac{\sigma_1}{\sigma_2} = -\frac{1}{\varepsilon+1} = -0{,}2, \qquad \frac{q_3}{q_2} = \frac{\sigma_3}{\sigma_2} = -\frac{2\varepsilon}{\varepsilon+1} = -1{,}6.\]