Мощность на переменном сопротивлении

Амперметр имеет нулевое сопротивление, поэтому его концы можно стянуть в одну точку. Затем найдите токи в ветвях и мощность на \(xR\) как функцию \(x\).

1) Так как сопротивление амперметра равно нулю, потенциалы точек \(b\) и \(d\) совпадают, и эти точки можно стянуть в одну. Общее сопротивление цепи: \[R_0 = R + \frac{xR\cdot R}{xR + R} + \frac{R\cdot R}{R+R} = R\left(\frac{3}{2} + \frac{x}{x+1}\right) = R\,\frac{5x+3}{2(x+1)}.\] Ток через батарею: \[I = \frac{\varepsilon}{R_0} = \frac{\varepsilon}{R}\cdot\frac{2(x+1)}{5x+3}.\] Обозначим токи на участках \(ab\) и \(ad\) через \(I_1\) и \(I_2\). Из узла \(a\): \(I_1 + I_2 = I\), а из равенства напряжений \(I_1\,xR = I_2\,R\), то есть \(I_2 = xI_1\). Тогда \[I_1 = \frac{I}{x+1} = \frac{2\varepsilon}{R(5x+3)}.\] Тепловая мощность на сопротивлении \(xR\): \[P = I_1^2\,xR = \frac{4\varepsilon^2\,x}{R\,(5x+3)^2}.\]

2) Преобразуем: \(P = \dfrac{4\varepsilon^2}{5R}\cdot\dfrac{5x+3-3}{(5x+3)^2} = \dfrac{4\varepsilon^2}{5R}\left(\dfrac{1}{5x+3} - \dfrac{3}{(5x+3)^2}\right)\). Введём \(y = \dfrac{1}{5x+3}\); мощность \(P = \dfrac{4\varepsilon^2}{5R}\,(y - 3y^2)\) — квадратный трёхчлен, максимум при \(y = \dfrac{1}{6}\). Тогда \(5x + 3 = 6\), то есть \(x = \dfrac{3}{5}\). Максимальная мощность: \[P_m = \frac{4\varepsilon^2}{5R}\left(\frac{1}{6} - \frac{3}{36}\right) = \frac{\varepsilon^2}{15R} = 0{,}24\text{ Вт}.\]

3) При \(x = \dfrac{3}{5}\): \(I = \dfrac{8\varepsilon}{15R}\), \(I_1 = \dfrac{I}{x+1} = \dfrac{\varepsilon}{3R}\). Напряжения на участках \(bc\) и \(dc\) совпадают, поэтому по ним текут одинаковые токи \(I/2\). В узле \(b\): \(I_1 = I_A + \dfrac{I}{2}\), откуда \[I_A = I_1 - \frac{I}{2} = \frac{\varepsilon}{3R} - \frac{4\varepsilon}{15R} = \frac{\varepsilon}{15R} = 20\text{ мА}.\] Ток через амперметр течёт от узла \(b\) к узлу \(d\).