Два броска на одну дальность

Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, определяется известной формулой \[L = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g},\] где \(v_0\) — начальная скорость, \(\alpha\) — угол бросания. Из этой формулы следует, что при бросках под углами \(\alpha\) и \(90^\circ - \alpha\) (и одинаковой начальной скорости) дальность полета одинакова. Таким образом, два угла, под которыми бросали тело в двух случаях, \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) связаны соотношением \[\alpha_1 = 90^\circ - \alpha_2.\] Используя теперь известную формулу для времени полета \[t = \frac{2v_0\sin\alpha}{g},\] получаем \[t_1 = \frac{2v_0\sin\alpha_1}{g}, \qquad t_2 = \frac{2v_0\sin\alpha_2}{g} = \frac{2v_0\sin(90^\circ - \alpha_1)}{g} = \frac{2v_0\cos\alpha_1}{g}.\] Перемножая времена \(t_1\) и \(t_2\), получаем \[t_1t_2 = \frac{4v_0^2\sin\alpha_1\cos\alpha_1}{g^2} = \frac{2L}{g}.\] Т.е. произведение времен на этих траекториях зависит только от длины пути, но не от углов и начальной скорости. Отсюда находим \[t_2 = \frac{2L}{g\,t_1}.\]