Три планеты вокруг звезды

Пусть угловые скорости Соляриса, Титана и Авроры равны соответственно \(\omega_C\), \(\omega_T\) и \(\omega_A\). Время обгона одной планеты другой можно найти из следующих соображений. Если две планеты (например, Солярис и Титан) в какой-то момент времени окажутся на одном радиусе, проведенном от звезды, то в следующий раз они окажутся на одном радиусе, когда угол поворота одной будет больше угла поворота другой ровно на один полный угол, т.е. \(2\pi\). А угол поворота каждой планеты за время обгона можно найти из определения угловой скорости \(\varphi = \omega t\). Отсюда для времени обгона Солярисом планеты Титан \(t_{CT}\) получаем \[\omega_C t_{CT} - \omega_T t_{CT} = 2\pi \quad\Rightarrow\quad t_{CT} = \frac{2\pi}{\omega_C - \omega_T}.\] С другой стороны, солярисианский год — это время оборота Соляриса вокруг звезды: \(T_C = \dfrac{2\pi}{\omega_C}\). А поскольку по условию обгон Солярисом планеты Титан происходит каждые \(n\) солярисианских лет, отсюда получаем \[n = \frac{t_{CT}}{T_C} = \frac{\omega_C}{\omega_C - \omega_T}.\] Аналогично, из условия, что Титан обгоняет планету Аврора каждые \(k\) своих лет, находим \[k = \frac{t_{TA}}{T_T} = \frac{\omega_T}{\omega_T - \omega_A}.\] Планета Солярис обгоняет планету Аврора через интервал времени \[t_{CA} = \frac{2\pi}{\omega_C - \omega_A},\] что составляет \[m = \frac{t_{CA}}{T_A} = \frac{\omega_A}{\omega_C - \omega_A}\] аврорианских лет. Найдем величину \(m\). Для этого «перевернем» полученные равенства: \[\frac{1}{n} = 1 - \frac{\omega_T}{\omega_C}, \qquad \frac{1}{k} = 1 - \frac{\omega_A}{\omega_T}, \qquad \frac{1}{m} = \frac{\omega_C}{\omega_A} - 1.\] Из первых двух получаем \[\frac{\omega_T}{\omega_C} = \frac{n-1}{n}, \qquad \frac{\omega_A}{\omega_T} = \frac{k-1}{k}.\] Перемножая эти равенства, находим отношение угловых скоростей планет Солярис и Аврора \[\frac{\omega_C}{\omega_A} = \frac{nk}{(n-1)(k-1)},\] а затем и число лет планеты Аврора, через которое ее обгоняет планета Солярис: \[m = \frac{(n-1)(k-1)}{n+k-1}.\]