Палка в сосуде с водой

Поскольку сечение сосуда сравнимо с сечением палки, надо учесть подъем воды в стакане при опускании в него палки. Из условия равновесия палки имеем \[\frac{2}{3}\,\rho\pi r^2 L g = \rho g\pi r^2 l \quad\Rightarrow\quad l = \frac{2}{3}\,L,\] где \(L\) — длина палки, \(l\) — длина куска палки, погруженного в воду, или расстояние от нового положения уровня воды до нижнего конца палки, \(\rho\) — плотность воды, \(g\) — ускорение свободного падения. Длину \(l\) можно представить как сумму двух расстояний — первого от нижней точки палки до первоначального положения уровня воды в стакане длиной \(h_1\) и второго от первоначального до нового положения уровня воды \(h_2\): \[l = h_1 + h_2.\] Поскольку подъем уровня воды в стакане связан с ее вытеснением палкой при погружении в воду, то объем вытесненной воды ниже первоначального уровня равен объему воды от первоначального уровня до нового. Поэтому \[h_1\pi r^2 = h_2\left(\pi 4r^2 - \pi r^2\right).\] Отсюда \[h_2 = \frac{1}{3}\,h_1.\] Потому \[h_1 = \frac{3}{4}\,l = \frac{1}{2}\,L.\] Палка коснется дна, если расстояние от первоначального уровня до ее нижней точки будет равно первоначальной высоте уровня воды в стакане: \[h_1 \ge h \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}\,L \ge h.\] Таким образом, палка коснется дна при минимальной длине \[L = 2h.\]