Брусок между двумя плоскостями

Найдите, на какое расстояние вдоль плоскости сместился центр масс бруска, и воспользуйтесь законом сохранения энергии (или найдите ускорение вдоль плоскости).

Сначала нужно определить перемещение центра масс бруска. Из геометрии находим, что начальная координата центра масс бруска относительно ребра двугранного угла \(l_0 = \dfrac{h}{\cos\alpha}\), а конечная (см. рисунок) \[l = \frac{b}{2} + \frac{a}{\operatorname{tg}2\alpha}.\]

1-й способ (динамический). Согласно второму закону Ньютона, ускорение бруска равно \[a = \frac{F}{m} = \frac{mg\cos\alpha}{m} = g\cos\alpha = 8{,}5\text{ м/с}^2.\]

Путь \(l_0 - l\) брусок прошёл за время \(t\): \[l_0 - l = (g\cos\alpha)\,\frac{t^2}{2} \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2(l_0 - l)}{g\cos\alpha}} = 0{,}46\text{ с}.\] Скорость бруска в конце пути: \[v = (g\cos\alpha)\cdot t = \sqrt{2g\left(h - \frac{b}{2}\cos\alpha - \frac{a\cos\alpha}{\operatorname{tg}2\alpha}\right)}.\]

2-й способ (энергетический). Из-за отсутствия диссипации (трения) полная механическая энергия сохраняется. Поэтому \[mgh = mgl\cos\alpha + \frac{mv^2}{2} \quad\Rightarrow\quad v^2 = 2g(l_0 - l)\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2g\left(h - \frac{b}{2}\cos\alpha - \frac{a\cos\alpha}{\operatorname{tg}2\alpha}\right)}.\]