Ждун и цепочка зарядов

Введём координатную ось от O вдоль OA, координата точки A равна \(L\), расстояние между зарядами цепочки \(a = L/N\), величина зарядов \(q > 0\). В первом опыте напряжённость в O равна \(E_1 = -\dfrac{kq}{L^2}\) (направлена против оси).

Пусть \(E(x)\) — напряжённость в O от полубесконечной цепочки, начинающейся в точке с координатой \(x\). Во втором опыте \(E_2 = E(L)\). Цепочку можно разбить на заряд \(q\) в точке A и вспомогательную цепочку, начинающуюся в точке \(L + a\); она получается сдвигом исходной на \(a\) со сменой знаков, и создаёт в O напряжённость \(-E(L + a)\). По принципу суперпозиции \[E(L) + E(L + a) = E_1 .\] Так как \(N \gg 1\), \(E(L + a) \approx E(L) + a\,\dfrac{dE}{dL}\), и с точностью до слагаемого с производной \(E(L) \approx \dfrac{E_1}{2}\): напряжённость во втором опыте уменьшается на \(50\%\).

Чтобы найти изменение в третьем опыте, нужно учесть поправку. Пусть \(E(L) = \dfrac{kq}{2L^2}\left(1 + \beta\dfrac{a}{L}\right)\). Подстановка в уравнение суперпозиции даёт \(\beta = 1\). Тогда \[E_2 = \frac{kq}{2L^2}\left(1 + \frac{a}{L}\right), \qquad E_3 = \frac{kq}{2L^2}\left(1 + \frac{a}{KL}\right),\] и разность \(\Delta E = E_2 - E_3 = \dfrac{kq}{2L^2}\cdot\dfrac{a}{L}\left(1 - \dfrac{1}{K}\right) = \dfrac{E_2(K-1)}{KN}\) (при \(E_2 \approx \dfrac{kq}{2L^2}\)). Отсюда относительное изменение \(\dfrac{K - 1}{NK}\cdot 100\%\).