Поршни и пружины с отверстием

В начале давление газа в верхнем отсеке \(p_0 = \dfrac{mg}{S}\), давление снизу под нижним поршнем \(2p_0\) (сила давления снизу уравновешивает \(mg\) нижнего поршня и силу \(p_0S = mg\) сверху).

Пусть после установления равновесия верхняя пружина сжата на \(x_1\), нижняя — на \(x_2\) (отрицательное значение — растяжение). Объёмы отсеков \(V_1 = (L - x_1)S\), \(V_2 = (L - x_2)S\). Количество вещества в начале: \(\nu_1 : \nu_2 = 1 : 2\), всего \(\nu_1 + \nu_2 = \dfrac{3p_0LS}{RT}\). В конце давление \(p\) одно и то же в обоих отсеках, температура прежняя: \[\frac{3mg}{S}\,L = p\,(2L - x_1 - x_2).\] Равновесие верхнего и нижнего поршня: \[mg = pS + kx_1, \qquad mg + kx_1 = kx_2 .\] С безразмерными \(\alpha_{1,2} = x_{1,2}/L\) и \(a = \dfrac{mg}{kL}\): \[3a = \frac{pS}{kL}(2 - \alpha_1 - \alpha_2), \qquad a = \frac{pS}{kL} + \alpha_1, \qquad a + \alpha_1 = \alpha_2 .\] Получаем квадратное уравнение \(2\alpha_1^2 - (a+2)\alpha_1 - a(a+1) = 0\). Решение «с плюсом» даёт \(\alpha_1 = 1 + a > 1\) и отбрасывается. Решение «с минусом»: \(\alpha_1 = -a/2\), \(\alpha_2 = a/2\): верхняя пружина растянута на \(\dfrac{mg}{2k}\), нижняя сжата на \(\dfrac{mg}{2k}\). Оно физично при \(\alpha_2 \le 1\), то есть \(a \le 2\). Тогда верхний поршень остаётся на высоте \(2L\), нижний опускается на \(\dfrac{mg}{2k}\).

При \(a > 2\) нижний поршень лежит на дне, \(x_2 = L\). Тогда \(3a = \dfrac{pS}{kL}(1 - \alpha_1)\), \(a = \dfrac{pS}{kL} + \alpha_1\), откуда \(\alpha_1^2 - (a+1)\alpha_1 - 2a = 0\), \(\alpha_1 = \dfrac{a + 1 - \sqrt{a^2 + 10a + 1}}{2}\). Высота верхнего поршня \(h = L(1 - \alpha_1) = \dfrac{L}{2}\left(\sqrt{a^2 + 10a + 1} + 1 - a\right)\).