Два тела на вращающемся рельсе

Для каждого тела запишите, какая сила создаёт центростремительное ускорение. При каком \(\omega\) тело \(M\) начнёт проскальзывать?

Центростремительную силу для тела массой \(m\), равную \(m\omega^2(R + l)\), создаёт натяжение нити: \[T = m\omega^2(R + l).\] Для тела массой \(M\) центростремительная сила \(M\omega^2R\) создаётся разностью силы трения и силы натяжения: \[F_{тр} - T = M\omega^2 R.\] Чтобы тело \(M\) не проскальзывало, нужно \(F_{тр} < \mu M g\). С учётом (1) и (2) \[T + M\omega^2R = m\omega^2(R + l) + M\omega^2R < \mu M g \quad\Rightarrow\quad \omega < \omega_0 = \sqrt{\frac{\mu M g}{m(R + l) + MR}}.\] При \(\omega = \omega_0\) сила трения достигает максимума \(\mu M g\). При \(\omega > \omega_0\) трение не удерживает тела на постоянном расстоянии от O, и ответ (1) перестаёт работать.

Если \(\omega > \omega_0\), тела соскальзывают с ускорением \(a > 0\) к краю рельса O\('\). Второй закон Ньютона в проекции на ось OO\('\): \[ma = m\omega^2(R + l) - T, \qquad Ma = M\omega^2R + T - \mu M g .\] Решая систему относительно \(a\) и \(T\), находим \[T = \frac{Mm(\omega^2 l + \mu g)}{m + M} .\] Этот ответ справедлив при \(a > 0\), что выполняется при \(\omega > \omega_0\). График \(T(\omega)\) приведён на рисунке: при \(\omega \le \omega_0\) — парабола \(T = m\omega^2(R + l)\), при \(\omega > \omega_0\) — вторая парабола, сшитые в точке \((\omega_0, T_0)\).