Кипение воды и дождь

Найдите тепловую мощность на единицу площади дна из скорости убыли уровня до дождя. Сравните её с мощностью, нужной, чтобы довести до кипения дождевую воду, падающую на единицу площади в единицу времени.

Пусть \(P\) — тепловая мощность, подводимая к воде в котелке от костра, \(S\) — площадь дна котелка. Вычислим величину \(P/S\), то есть тепловую мощность, отнесённую к единице площади. Масса воды, которая испарилась из котелка за время \(\tau\), равна \(m = \rho S h\). Количество теплоты, подведённое к воде за это время, равно \(P\tau = mr\). Поделив количество теплоты на время, получим мощность: \(P = \dfrac{rm}{\tau} = \dfrac{r\rho S h}{\tau}\). Отсюда \[\frac{P}{S} = \frac{r\rho h}{\tau} \approx 1{,}15\cdot 10^5\text{ Вт/м}^2 .\] Теперь выясним, будет ли вода продолжать кипеть после начала дождя, или кипение прекратится. Масса дождевой воды, попадающей в котелок за некоторое время \(t\), равна \(M_\text{дожд} = N m_0 = n S v t\, m_0\), где \(N\) — число капель, попадающих в котелок за рассматриваемое время.

Количество теплоты, необходимое для приведения этой воды в состояние кипения, равно \[Q_1 = c M_\text{дожд}(100 - t_0) = c\, n S v t\, m_0 (100 - t_0) .\] Разделив обе части последнего уравнения на произведение \(St\), получим тепловую мощность, приходящуюся на единицу площади, необходимую для того, чтобы попавшая в котелок дождевая вода закипала: \[\frac{P_1}{S} = c\, n v m_0 (100 - t_0) \approx 3\cdot 10^4\text{ Вт/м}^2 .\] Видно, что \(\dfrac{P}{S} > \dfrac{P_1}{S}\). Это означает, что вода в котелке будет продолжать кипеть и после начала дождя.

Вычислим массу воды, которая будет испаряться за некоторое время \(t\): \[M_\text{исп}(t) = \frac{(P - P_1)\,t}{r} .\] Полное изменение массы воды в котелке за время \(t\) от начала дождя равно разности масс воды, попавшей в котелок, и испарившейся из него: \[\Delta M(t) = M_\text{дожд}(t) - M_\text{исп}(t) = n S v m_0 t - \frac{(P - P_1)\,t}{r} .\] Изменение уровня воды в котелке за время \(t\) от начала дождя равно \[\Delta x(t) = \frac{\Delta M(t)}{\rho S} = \frac{1}{\rho}\left( n v m_0 - \frac{P/S - P_1/S}{r}\right) t = kt ,\] где \(k \approx 5{,}14\cdot 10^{-5}\) м/с — величина в круглых скобках в последнем выражении (с учётом множителя \(1/\rho\)). Положительный знак коэффициента \(k\) означает, что уровень воды в котелке будет увеличиваться. Поэтому время \(T\), за которое уровень воды увеличится на \(H\), равно: \[T = \frac{H}{k} \approx \frac{10^{-2}}{5{,}14\cdot 10^{-5}} \approx 195\text{ с} .\]