Заряд в катушке при включении тока

Какое вихревое электрическое поле возникает внутри катушки при включении тока? Каким будет движение заряда в однородном магнитном поле после включения и проходит ли его траектория через ось?

При включении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, которое разгоняет заряд до некоторой скорости. После этого магнитное поле внутри катушки однородно и не зависит от времени, поэтому заряд движется внутри соленоида по окружности. Параметры этой окружности зависят от времени включения поля.

Если поле включается очень быстро, заряд за время включения практически не успевает переместиться и начинает свое движение из начальной точки, приобретя ту скорость, которую сообщит ему вихревое электрическое поле в этой точке. Если поле включается медленно, заряд движется в процессе включения поля, и то, в какой точке окажется и какую скорость приобретет, зависит от закона включения поля. Поскольку этот закон в условии не задан, количественно этот случай не может быть рассмотрен. Рассмотрим случай быстрого включения поля.

Найдем напряженность вихревого электрического поля. Для этого рассмотрим контур радиуса \(x=r/2\) с центром на оси катушки. ЭДС индукции в контуре \[\varepsilon=\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=\frac{B_0\pi x^2}{\Delta t}.\] Вихревое поле обладает осевой симметрией и направлено по касательной к окружности, поэтому работа поля над единичным пробным зарядом равна \(2\pi xE\). Отсюда \[\frac{B_0\pi x^2}{\Delta t}=2\pi xE\quad\Rightarrow\quad E=\frac{B_0x}{2\,\Delta t}.\qquad(*)\] Поле \((*)\) разгоняет заряд. Поскольку поле включается очень быстро, за время включения заряд не успевает переместиться, и он приобретает импульс \[mv=qE\,\Delta t\quad\Rightarrow\quad v=\frac{qB_0x}{2m}=\frac{qB_0r}{4m}.\qquad(**)\] Теперь найдем радиус окружности, по которой движется заряд. По второму закону Ньютона \[\frac{mv^2}{R}=qB_0v\quad\Rightarrow\quad R=\frac{mv}{qB_0}=\frac{x}{2}.\qquad(***)\] Сила Лоренца, действующая на заряд со стороны магнитного поля, поворачивает его к центру катушки. Поэтому по формуле \((***)\) заключаем, что заряд пройдет через точку, лежащую на оси катушки. Скорость заряда в магнитном поле не меняется и будет равна \((**)\).

Чтобы время включения было малым, нужно, чтобы перемещение заряда за время включения поля было много меньше радиуса орбиты. Ускорение заряда \(a=\dfrac{qE}{m}=\dfrac{qB_0x}{2m\,\Delta t}\), поэтому оценкой его перемещения за время включения является величина \(\Delta x\sim a\,\Delta t^2\sim\dfrac{qB_0r}{m}\,\Delta t\). Критерий малости времени включения поля: \[\Delta x\ll r\quad\Rightarrow\quad\frac{qB_0R}{m}\,\Delta t\ll r\quad\Rightarrow\quad\Delta t\ll\frac{m}{qB_0}.\qquad(4*)\] Величина \(m/(qB_0)\) имеет смысл времени оборота частицы массы \(m\) с зарядом \(q\) в магнитном поле с индукцией \(B_0\). Поэтому время включения поля должно быть мало по сравнению с временем оборота. Если неравенство \((4*)\) не выполнено, характер движения заряда зависит от закона включения поля, который не задан условием задачи, и потому не может быть определен.