Раскрученный диск на границе поверхностей

Разбейте диск на узкие кольца и найдите силу трения на каждый элемент кольца. Какие силы трения дают суммарную силу, не равную нулю?

Мысленно разобьем диск на узкие колечки, найдем силу трения, действующую на каждое, а потом просуммируем. Рассмотрим четыре малых элемента кольца одинаковой длины, лежащих на одинаковых расстояниях от границы полуплоскостей на одной и второй полуплоскости (см. рисунок). На них действуют силы трения, направленные противоположно скорости элементов (т.е. по касательным к кольцу). Поскольку коэффициенты трения диска о полуплоскости разные, то две силы будут больше двух других, и суммарная сила трения не будет равняться нулю.

Рассмотрим силы, действующие на два таких элемента, лежащих на одной и той же полуплоскости. Очевидно, сумма сил трения, действующих на них, направлена вдоль границы и равна \(2k_1\Delta m\,g\sin\alpha\), где \(k_1\) — коэффициент трения между диском и той полуплоскостью, на которой находятся рассматриваемые элементы диска, \(\Delta m\) — масса каждого элемента, \(\alpha\) — угол между элементами и перпендикуляром к границе раздела. Масса элемента пропорциональна его длине: \(\Delta m=\dfrac{\Delta l}{l}\,m\), где \(m\) — масса кольца, \(l\) — его длина, \(\Delta l\) — длина рассматриваемых элементов. Величина \(\Delta l\sin\alpha\) имеет смысл проекции элемента кольца на границу раздела полуплоскостей, поэтому их сумма дает диаметр кольца. Сумма проекций сил трения, действующих на элементы кольца, находящиеся с одной стороны от границы раздела, дает \[\sum 2k_1\Delta m\,g\sin\alpha=k_1\frac{mg\,2r}{2\pi r}=\frac{k_1mg}{\pi},\] где \(r\) — радиус рассматриваемого кольца. Сумма проекций сил трения, действующих на другую половину, дает \(\dfrac{k_2mg}{\pi}\).

Поэтому суммарная сила трения, действующая на рассматриваемое кольцо, есть \(\dfrac{(k_1-k_2)mg}{\pi}\). Суммируя силы трения, действующие на отдельные колечки, найдем результирующую силу трения, действующую на диск: \[F=\frac{(k_1-k_2)Mg}{\pi},\] где \(M\) — масса диска. Отсюда ускорение центра диска, направленное вдоль границы полуплоскостей, \[a=\frac{(k_1-k_2)g}{\pi}.\] В рассматриваемом варианте (\(k_1=2k\), \(k_2=k\)) имеем \[a=\frac{kg}{\pi}.\]