Центр тяжести заготовки при обточке

До обработки центр тяжести находится посередине. Когда резец проходит положение, в котором центр тяжести сместился дальше всего? Выразите положение центра тяжести через длину обточенного участка.

В процессе обработки заготовка представляет собой два состыкованных соосных цилиндра с радиусами \(R\) и \(3R/4\) (см. рисунок). До обработки центр тяжести заготовки находится посередине.

Докажем, что максимальное смещение центра тяжести будет тогда, когда он совпадает с положением резца (стыка между двумя частями заготовки). Пусть центр тяжести находится левее положения резца. Если в этом положении резец срежет небольшой объем заготовки, то ее центр тяжести сместится влево, поскольку мы уменьшаем часть заготовки справа от центра тяжести. Если центр тяжести находится слева от резца, то при дальнейшей обработке центр тяжести будет перемещаться вправо. Т.е. пока резец при обработке заготовки с правого конца не «дошел» до ее центра тяжести, центр тяжести движется влево, когда «перешел» — вправо. Значит, максимальное смещение центра тяжести будет тогда, когда он совпадает с резцом.

Пусть центр тяжести совпадает со стыком частей заготовки и находится на расстоянии \(x\) от ее левого конца.

Пусть \(m_1\) — масса левой (радиуса \(R\), длины \(x\)) части, \(m_2\) — масса правой (радиуса \(3R/4\), длины \(h-x\)) части. Тогда \[m_1\frac{x}{2}=m_2\frac{h-x}{2},\] откуда \[\rho\pi R^2x\cdot\frac{x}{2}=\rho\pi\left(\frac{3R}{4}\right)^2(h-x)\cdot\frac{h-x}{2} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{3h}{7}.\] Следовательно, максимальное смещение центра тяжести заготовки при обработке \[\Delta x=\frac{h}{2}-\frac{3h}{7}=\frac{h}{14}.\]