Удержание и сдвиг

Подсказка

Условие равновесия доски даёт линейную зависимость силы от положения груза (в части 2 — от \(1/x\)); по наклону и пересечению с осью находят нужные величины. Выберите динамометр, у которого шкала задействуется почти целиком.

Ответ

1.1) \(F=\dfrac{Mg}{2}+\dfrac{mg}{l}x\); 1.3) \(m\approx304\) г; 1.4) \(m=(304\pm4)\) г; 2.1) \(F=\mu_1mg+\dfrac{(\mu_1+\mu_2)MgL}{2}\cdot\dfrac1x\); 2.4) \(\mu_1\approx0{,}19,\ \mu_2\approx0{,}52\) (по образцу решения организаторов).

Решение

Часть 1. Удержание

1.1. Обозначим силы, действующие на дощечку и грузы (рис.3). Запишем условие равновесия системы тел «дощечка – грузы» для моментов сил. (Сила реакции опоры и сила трения, действующие на дощечку со стороны поверхности стола в точке А на рисунке не показаны, так моменты этих сил относительно данной точки равны нулю).

Рисунок 3.

\[Fl \cos \alpha = Mg \frac{l}{2} \cos \alpha + mgx \cos \alpha .\tag{1}\]

Из (1) получаем

\[F = \frac{1}{2} Mg + \frac{mg}{l} x .\tag{2}\]

1.2. Изначально следует выбрать динамометр, которым будет измеряться сила \(F\). Чтобы выполнить условие минимизации погрешности, следует выбрать динамометр с пределом измерения 5,0Н, так как данный динамометр будет задействован почти на всю шкалу. (Динамометром с пределом измерения 2,5Н нельзя будет выполнить измерения во всём диапазоне изменения величины \(x\), а динамометр с пределом измерения 10,0Н будет задействован только на половину шкалы). Для более удобного и быстрого измерения величины \(x\) мерную ленту следует прикрепить скотчем вдоль поверхности доски. (Моментом силы тяжести, действующим на мерную ленту, по сравнению с моментами сил тяжести, действующими на дощечку и грузы, можно пренебречь). Динамометр крепим в лапке штатива, дощечку с помощью петли цепляем за крючок динамометра. Угол наклона дощечки подбираем таким, чтобы грузы ни в одном положении не скользили по дощечке. Результаты эксперимента представлены в таблице 1 и графике 1.

Таблица 1.

График 1. Зависимость \(F(x)\)

Результаты эксперимента подтверждают линейную зависимость \(F(x)\).

1.3. Зависимость \(F(x)\) имеет вид:

\[F = b + kx .\tag{3}\]

Сравнивая (3) и (2) получим:

\[\begin{aligned}b = \frac{1}{2}Mg \tag{4}, \\ \quad k = \frac{mg}{l} \tag{5}.\end{aligned}\]

Значения коэффициентов \(b\) и \(k\) определим по графику зависимости \(F(x)\): \(b\) – координата пересечения усредняющей прямой оси \(F\), \(k\) – тангенс угла наклона усредняющей прямой к оси \(x\).

\[\langle b \rangle = 1{,}65\,\text{Н}, \quad \langle k \rangle = 6{,}61\,\frac{\text{Н}}{\text{м}}.\]

Из (5) получим:

\[\langle m \rangle = \frac{\langle k \rangle \cdot \langle l \rangle}{\langle g \rangle} .\tag{6}\]

Длину дощечки измеряем мерной лентой: \(l = (45{,}2 \pm 0{,}1)\,\text{см}\). Подставляя значения соответствующих величин в (6) получим:

\[\langle m \rangle = \frac{6{,}61\,\frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 0{,}452\,\text{м}}{9{,}813\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 0{,}304\,\text{кг} = \mathbf{304}\,\text{г}.\]

1.4. Абсолютную и относительную погрешность определения массы груза \(m\) определим следующим образом:

\[\varepsilon_m = \sqrt{\left(\frac{\Delta k}{\langle k \rangle}\right)^2 + \left(\frac{\Delta l}{\langle l \rangle}\right)^2} ,\tag{7}\]

\[\Delta m = \varepsilon_m \cdot \langle m \rangle .\tag{8}\]

Относительной погрешностью \(\varepsilon_g\) пренебрегаем, так как ускорение свободного падения задано с четырьмя значащими цифрами и относительная погрешность данной величины пренебрежимо мала по сравнение с относительными погрешностями величин \(k\) и \(l\).

Абсолютная погрешность измерения длины дощечки мерной лентой \(\Delta l = 1\,\text{мм}\). Абсолютную погрешность коэффициента \(k\) определим простым графическим способом.

\[\Delta k = \frac{k_1 - k_2}{2} = \frac{6{,}67\,\frac{\text{Н}}{\text{м}} - 6{,}50\,\frac{\text{Н}}{\text{м}}}{2} = 0{,}085\,\frac{\text{Н}}{\text{м}} \approx 0{,}09\,\frac{\text{Н}}{\text{м}}.\]

\[\varepsilon_m = \sqrt{\left(\frac{0{,}09\,\frac{\text{Н}}{\text{м}}}{6{,}61\,\frac{\text{Н}}{\text{м}}}\right)^2 + \left(\frac{1\,\text{мм}}{452\,\text{мм}}\right)^2} = 0{,}014 = 1{,}4\%,\]

\[\Delta m = 0{,}014 \cdot 304\,\text{г} = 4\,\text{г}.\]

Окончательно

\[m = (\langle m \rangle \pm \Delta m) = (\mathbf{304} \pm 4)\,\text{г}.\]

Часть 2. Сдвиг

2.1. Обозначим силы, действующие на брусок (рис.4) и дощечку (рис.5).

Здесь: \(m\vec{g}\) – сила тяжести, действующая на брусок; \(\vec{P}\) – вес дощечки, действующий на брусок; \(\vec{F}_{\text{тр1}}\) – сила трения, действующая на брусок со стороны листа бумаги; \(\vec{F}_{\text{тр2}}\) – сила трения, действующая на брусок со стороны дощечки; \(\vec{N}_{1}\) – сила нормальной реакции опоры, действующая на брусок со стороны стола; \(\vec{F}\) – сила, действующая на брусок со стороны динамометра; \(\vec{F}_{\text{тр3}}\) – сила трения, действующая на дощечку со стороны бруска; \(\vec{N}_{2}\) – сила нормальной реакции опоры, действующая на дощечку со стороны бруска; \(M\vec{g}\) – сила тяжести, действующая на дощечку.

Будем считать, что в момент сдвига выполняется условие:

\[F = F_{\text{тр1}} + F_{\text{тр2}} ,\tag{9}\]

где

\[\begin{aligned}F_{\text{тр1}} = \mu_{1}N_{1} \tag{10}, \\ \qquad F_{\text{тр2}} = \mu_{2}N_{2} \tag{11}.\end{aligned}\]

\(\vec{N}_{2}\) определим из правила моментов сил, действующих на дощечку:

\[N_{2}x = Mg\frac{L}{2} ,\tag{12}\]

Моментом силы \(\vec{F}_{\text{тр3}}\) пренебрегаем, так как её плечо много меньше, чем плечи сил \(\vec{N}_{2}\) и \(M\vec{g}\). Из (12) получим

\[N_{2} = Mg\frac{L}{2x} .\tag{13}\]

Подставляя (13) в (11), получим:

\[F_{\text{тр2}} = \mu_{2}Mg\frac{L}{2x} .\tag{14}\]

Для \(\vec{N}_1\), \(\vec{P}\), и \(m\vec{g}\) выполняется условие:

\[N_1 = mg + P\tag{15}\]

По третьему закону Ньютона

\[P = N_2\tag{16}\]

С учетом (13), получим:

\[N_1 = mg + Mg \frac{L}{2x}\tag{17}\]

Подставляя (17) в (10) получим:

\[F_{\text{тр1}} = \mu_1 mg + \mu_1 Mg \frac{L}{2x}\tag{18}\]

Подставляя (18) и (14) в (9) после преобразований окончательно получим:

\[F = \mu_1 mg + \frac{(\mu_1 + \mu_2)MgL}{2} \cdot \frac{1}{x}\tag{19}\]

2.2. Массу бруска и доски измеряем на электронных весах. Длину доски измеряем мерной

лентой. Масса бруска \(m = (93{,}2 \pm 0{,}1)\) г, масса доски \(M = (343{,}1 \pm 0{,}1)\) г, длина доски \(L = (45{,}2 \pm 0{,}1)\) см.

2.3. Силу \(F\), при малых значениях \(x\), измеряем динамометром с пределом измерения 10,0 Н. С увеличением \(x\), сила \(F\) уменьшается. Когда значения силы станут меньше 5,0 Н, используем динамометр с пределом измерения 5,0 Н, при значениях силы меньше 2,5 Н используем динамометр с пределом измерения 2,5 Н. Расстояние \(x\) измеряем мерной лентой. Для удобства измерения \(x\) мерную ленту крепим на верхней поверхности дощечки скотчем. Случайной погрешностью измерения силы \(F\) в данном эксперименте пренебрегать нельзя, поэтому для каждого значения \(x\) проводим пять повторных измерений силы \(F\). Результаты эксперимента представлены в таблице 2.

Таблица 2. Экспериментальные данные зависимости \(F(x)\)

Результаты эксперимента подтверждают, что зависимость \(F(x)\).имеет вид:

\[F = b + k \frac{1}{x}\tag{20}\]

\[\begin{aligned}b = \mu_1 mg \tag{21}, \\ \quad k = \frac{(\mu_1 + \mu_2)MgL}{2} \tag{22}.\end{aligned}\]

2.4. Значения коэффициентов \(b\) и \(k\) определим по графику зависимости \(F(1/x)\): \(b\) – координата пересечения усредняющей прямой оси \(F\), \(k\) – тангенс угла наклона усредняющей прямой к оси \(1/x\). \(b = 0{,}17\) Н, \(k = 0{,}54\) Н·м. Из (21) получим:

\[\mu_1 = \frac{b}{mg} = \frac{0{,}17 \text{ Н}}{0{,}0932 \text{ кг} \cdot 9{,}813 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 0{,}19 .\tag{23}\]

Из (22) получим:

\[\mu_2 = \frac{2k}{MgL} - \mu_1 = \frac{2 \cdot 0{,}54 \text{ Н} \cdot \text{м}}{0{,}3431 \text{ кг} \cdot 9{,}813 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0{,}452 \text{ м}} - 0{,}19 = 0{,}52 .\tag{24}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.