Электротетраэдр

Заменив всё, кроме первого источника, эквивалентным источником, поймите, когда ток через первый источник не зависит от его полярности: ЭДС эквивалентного источника должна быть нулевой, то есть мост сбалансирован. Тогда источники «не чувствуют» друг друга.

1. Первое решение. Для определения величины силы тока, текущего через первый источник, воспользуемся методом эквивалентного источника. Всю оставшуюся часть тетраэдра, подключённую к выводам \(A\) и \(B\) первого источника, можно заменить одним эквивалентным источником с внутренним сопротивлением \(r_{0(1)}\) и ЭДС \(\mathcal E_{0(1)}\). При этом эквивалентная схема для определения силы тока, текущего через первый источник, будет выглядеть так, как показано на рис. 1.

Сразу найдём сопротивление эквивалентного источника \(r_{0(1)}\), подключенного к узлам \(A\) и \(B\). Для этого заменим второй источник идеальной перемычкой и рассчитаем сопротивление моста между узлами \(A\) и \(B\): \[r_{0(1)} = r_{AB} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} + \frac{R_3R_4}{R_3 + R_4}.\] Величина силы тока \(I_1\), текущего через первый источник, определяется выражением: \[I_1 = \frac{\mathcal E_{0(1)} + \mathcal E_1}{r_{0(1)}}.\] Пусть верхний индекс \((-)\) соответствует величине силы тока через источник при изменённой на противоположную полярности его подключения. Тогда: \[I_1^- = \frac{\mathcal E_{0(1)} - \mathcal E_1}{r_{0(1)}}.\] Из данного выражения видно, что независимость от полярности подключения первого источника величины силы текущего через него тока возможно, если \(\mathcal E_{0(1)} = 0\). Поймём, при каком условии это возможно. ЭДС \(\mathcal E_{0(1)}\) эквивалентного источника равна показаниям идеального вольтметра, подключённого в цепь к узлам \(A\) и \(B\) вместо первого источника. Показания вольтметра будут равны нулю, если мост, составленный из резисторов с сопротивлениями \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) и \(R_4\) будет сбалансирован, откуда получим связь между сопротивлениями резисторов: \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}.\] Таким образом, сила тока, текущего через первый источник, равна \(I_1 = \mathcal E_1/r_{0(1)}\).

Теперь определим силу тока, текущего через второй источник, вновь используя метод эквивалентного источника. Всю оставшуюся часть тетраэдра (включая первый источник), подключённую к выводам \(C\) и \(D\) второго источника, заменим эквивалентным источником с внутренним сопротивлением \(r_{0(2)}\) и ЭДС \(\mathcal E_{0(2)}\). При этом эквивалентная схема для определения силы тока, текущего через второй источник, будет выглядеть так, как показано на рис. 2.

Величина силы тока \(I_2\), текущего через второй источник, определяется выражением: \[I_2 = \frac{\mathcal E_2 + \mathcal E_{0(2)}}{r_{0(2)}}.\] Обозначим силу тока, текущего через второй источник при изменённой полярности подключения первого источника, за \(I'_2\). Поскольку \(\mathcal E_{0(2)} \sim \mathcal E_1\), величина \(I'_2\) определяется выражением: \[I'_2 = \frac{\mathcal E_2 - \mathcal E_{0(2)}}{r_{0(2)}}.\] Сразу найдём сопротивление эквивалентного источника \(r_{0(2)}\), подключённого к узлам \(C\) и \(D\). Для этого заменим первый источник идеальной перемычкой и рассчитаем сопротивление моста между узлами \(C\) и \(D\): \[r_{0(2)} = r_{CD} = \frac{R_2R_4}{R_2 + R_4} + \frac{R_1R_3}{R_1 + R_3}.\] ЭДС \(\mathcal E_{0(2)}\) эквивалентного источника равна показаниям идеального вольтметра, подключённого в цепь к узлам \(C\) и \(D\) вместо второго источника. Показания вольтметра будут равны нулю, поскольку мост является сбалансированным и для подключения вольтметра вместо второго источника. Действительно: \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4} \implies \frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}.\] Таким образом, величина силы тока, текущего через второй источник и равная \(I_2 = \mathcal E_2/r_{0(2)}\), не зависит от полярности подключения первого источника, а значит: \[I'_2 = I_2 = 2\text{ А}.\]

Второе решение. Воспользуемся методом наложения токов. Будем искать силы токов в ветвях цепи как суперпозицию сил токов, текущих в данных ветвях под действием одного источника, при условии, что другой источник в силу его идеальности заменён идеальной перемычкой.

Пусть перемычкой заменён второй источник. Обозначим силы токов, текущих через первый и второй источники при этом, за \(I_{1(1)}\) и \(I_{2(1)}\) соответственно (см. рис. 3). Тогда при смене полярности подключения первого источника направление тока \(I_{1(1)}\), текущего через него, изменится на противоположное, а величина силы тока останется неизменной.

Теперь перемычкой заменим первый источник. Обозначим силы токов, текущих через первый и второй источники при этом, за \(I_{1(2)}\) и \(I_{2(2)}\) соответственно (см. рис. 4).

Если сила тока \(I_{1(2)}\), текущего в перемычке под действием второго источника, не равна нулю, то сохранение величины силы полного тока через первый источник при смене его полярности невозможно. Значит, сила тока \(I_{1(2)}\), текущего в перемычке \(AB\) под действием второго источника, равна нулю. Это возможно, только если мост является сбалансированным. Тогда имеем следующее соотношение между сопротивлениями: \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}.\] Обратим внимание, что данное условие также является условием балансировки моста, к которому подключён первый источник, когда второй заменён перемычкой \(CD\). Значит, сила тока \(I_{2(1)}\), текущего в перемычке \(CD\) под действием первого источника, также равна нулю. Отсюда можно сделать вывод, что силы токов, текущих через первый и второй источники, определяются только величинами ЭДС соответствующих источников и полярностями их подключений. Таким образом, сила тока \(I'_2\), текущего через второй источник при смене полярности подключения первого источника, равна: \[I'_2 = I_2 = 2\text{ А}.\]

Третье решение. Расставим в исходной схеме токи с учётом закона сохранения заряда. В данной схеме есть 3 независимых тока, поэтому достаточно ввести лишь 3 силы тока \(I_1\), \(I_2\) и \(I_3\) (см. рис. 5).

Применим второе правило Кирхгофа к контуру \(CDGE\): \[\mathcal E_2 = I_1R_2 + I_2(R_1 + R_2) - I_3(R_1 + R_2).\] Применим второе правило Кирхгофа к контуру \(CDHF\): \[\mathcal E_2 = I_3(R_3 + R_4) - I_1R_4 \implies I_3 = \frac{I_1R_4 + \mathcal E_2}{R_3 + R_4}.\] Применим второе правило Кирхгофа к контуру \(ABGDH\): \[\mathcal E_1 = I_3(R_1 + R_3) - I_2R_1.\] Исключая \(I_3\), получим следующую систему уравнений относительно \(I_1\) и \(I_2\): \[\begin{cases} \mathcal E_1 = \dfrac{(I_1R_4 + \mathcal E_2)(R_1 + R_3)}{R_3 + R_4} - I_2R_1;\\[3mm] \mathcal E_2 = I_1R_2 + I_2(R_1 + R_2) - \dfrac{(I_1R_4 + \mathcal E_2)(R_1 + R_2)}{R_3 + R_4}. \end{cases}\] Выразим \(I_2\) из первого уравнения системы и подставим во второе: \[\mathcal E_2 = I_1R_2 - \frac{I_1R_4(R_1 + R_2)}{R_3 + R_4} - \frac{\mathcal E_2(R_1 + R_2)}{R_3 + R_4} + \frac{I_1R_4(R_1 + R_2)(R_1 + R_3)}{R_1(R_3 + R_4)} + \frac{\mathcal E_2(R_1 + R_2)(R_1 + R_3)}{R_1(R_3 + R_4)} - \frac{\mathcal E_1(R_1 + R_2)}{R_1}.\] Отсюда: \[\mathcal E_1 + \mathcal E_2\left(\frac{R_1}{R_1 + R_2} - \frac{R_3}{R_3 + R_4}\right) = I_1\left(\frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} + \frac{R_3R_4}{R_3 + R_4}\right).\] Аналогично выразим \(I_1\) из первого уравнения системы и подставим во второе: \[\mathcal E_2 = I_2(R_1 + R_2) - \frac{(\mathcal E_1 + I_2R_1)(R_1 + R_2)}{R_1 + R_3} + \frac{(\mathcal E_1 + I_2R_1)(R_3 + R_4)R_2}{R_4(R_1 + R_3)} - \frac{\mathcal E_2R_2}{R_4}.\] Отсюда: \[\mathcal E_2 + \mathcal E_1\left(\frac{R_4}{R_2 + R_4} - \frac{R_3}{R_1 + R_3}\right) = I_2\left(\frac{R_2R_4}{R_2 + R_4} + \frac{R_1R_3}{R_1 + R_3}\right).\] Рассмотрим выражение для силы тока \(I_1\). Поскольку при изменении полярности подключения первого источника величина силы тока, текущего через него, не изменяется, коэффициент при \(\mathcal E_2\) равен нулю. Отсюда: \[\frac{R_1}{R_1 + R_2} = \frac{R_3}{R_3 + R_4} \implies \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}.\] Обратим внимание, что в выражении для силы тока \(I_2\) коэффициент перед \(\mathcal E_1\) также равен нулю. Действительно: \[\frac{R_4}{R_2 + R_4} - \frac{R_3}{R_1 + R_3} = \frac{R_1R_4 - R_2R_3}{(R_2 + R_4)(R_1 + R_3)} = 0.\] Таким образом, величина силы тока \(I'_2\), текущего через второй источник при смене полярности подключения первого источника, равна: \[I'_2 = I_2 = 2\text{ А}.\]

2. Первое решение. Величины сил токов \(I_{2\text{а}}\) и \(I_{2\text{б}}\) в случаях «а» и «б» соответственно будут определяться сопротивлением моста, подключенного к выводам \(C\) и \(D\) второго источника: \[I_{2\text{а}} = \frac{\mathcal E_2}{r_\text{а}}, \qquad I_{2\text{б}} = \frac{\mathcal E_2}{r_\text{б}}.\] Поскольку мост является сбалансированным, удаление перемычки \(AB\) не приведёт к изменению сопротивления моста между узлами \(C\) и \(D\). Тогда сопротивления моста \(r_\text{а}\) и \(r_\text{б}\) будут одинаковыми и равными сопротивлению эквивалентного источника \(r_{0(2)}\), найденному при решении первого пункта, т. е. \(I_{2\text{а}} = I_{2\text{б}}\). Тогда, поскольку \(I_2 = \mathcal E_2/r_{0(2)}\): \[I_{2\text{а}} = I_{2\text{б}} = I_2 = 2\text{ А}.\]

Второе решение. Величины сил токов \(I_{2\text{а}}\) и \(I_{2\text{б}}\) в случаях «а» и «б» соответственно будут определяться сопротивлением моста, подключенного к выводам \(C\) и \(D\) второго источника: \[I_{2\text{а}} = \frac{\mathcal E_2}{r_\text{а}}, \qquad I_{2\text{б}} = \frac{\mathcal E_2}{r_\text{б}}.\] Поскольку мост является сбалансированным, удаление перемычки \(AB\) не приведёт к изменению сопротивления моста между узлами \(C\) и \(D\). Тогда сопротивления моста \(r_\text{а}\) и \(r_\text{б}\) будут одинаковыми, значит \(I_{2\text{а}} = I_{2\text{б}}\). Из решения первого пункта следует: \[I_1 = I_{1(1)}, \qquad I_2 = I_{2(2)}.\] Тогда замена первого источника перемычкой не изменит величину силу тока \(I_2\), поскольку величина \(I_{2(2)}\) найдена для схемы, которую предлагается рассмотреть в случае «б» (см. рис. 4). Таким образом: \[I_{2\text{а}} = I_{2\text{б}} = I_2 = 2\text{ А}.\]

Третье решение. Величина силы тока, текущего через источник в исходной схеме, определяется выражением: \[I_2 = \frac{\mathcal E_2}{\dfrac{R_2R_4}{R_2 + R_4} + \dfrac{R_1R_3}{R_1 + R_3}}.\] Величины сил токов \(I_{2\text{а}}\) и \(I_{2\text{б}}\) в случаях «а» и «б» соответственно будут определяться сопротивлением моста, подключенного к выводам \(C\) и \(D\) второго источника: \[I_{2\text{а}} = \frac{\mathcal E_2}{r_\text{а}}, \qquad I_{2\text{б}} = \frac{\mathcal E_2}{r_\text{б}}.\] Сопротивление \(r_\text{б}\) определяется выражением: \[r_\text{б} = \frac{R_2R_4}{R_2 + R_4} + \frac{R_1R_3}{R_1 + R_3},\] откуда следует, что \(I_{2\text{б}} = I_2\). Поскольку \(R_1R_4 = R_2R_3\), при подключении второго источника к узлам \(C\) и \(D\) мост является сбалансированным при наличии перемычки \(AB\). Тогда удаление перемычки \(AB\) не изменит сопротивления между узлами \(C\) и \(D\), т. е. \(r_\text{а} = r_\text{б}\). Таким образом: \[I_{2\text{а}} = I_{2\text{б}} = I_2 = 2\text{ А}.\]

3. Силы токов \(I_1\) и \(I_2\) через первый и второй источники соответственно, определяются выражениями: \[\mathcal E_1 = I_1\left(\frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} + \frac{R_3R_4}{R_3 + R_4}\right), \qquad \mathcal E_2 = I_2\left(\frac{R_2R_4}{R_2 + R_4} + \frac{R_1R_3}{R_1 + R_3}\right).\] Введём два обозначения: \[R_1 = kR_2, \qquad R_4 = \alpha R_2.\] Тогда \(R_3 = \alpha kR_2\), и для сил токов \(I_1\) и \(I_2\), текущих через первый и второй источники соответственно, имеем: \[I_1 = \frac{\mathcal E_1}{R_2}\cdot\frac{1 + k}{k(1 + \alpha)}, \qquad I_2 = \frac{\mathcal E_2}{R_2}\cdot\frac{1 + \alpha}{\alpha(1 + k)}.\] Перемножая почленно эти равенства, получим, что \[I_1I_2 = \frac{\mathcal E_1\mathcal E_2}{R_2^2\alpha k} \quad\implies\quad \alpha k = \frac{\mathcal E_1\mathcal E_2}{I_1I_2R_2^2} = 4.\] Заметим, что из условия задачи следует: \[\frac{\mathcal E_1}{I_1} = \frac{\mathcal E_2}{I_2}.\] Тогда из этого соотношения и выражений для \(I_1\) и \(I_2\) получаем \[\frac{\alpha(1 + k)}{1 + \alpha} = \frac{k(1 + \alpha)}{1 + k} \quad\implies\quad \alpha(1 + k)^2 = k(1 + \alpha)^2.\] Раскроем скобки: \[\alpha + 2\alpha k + k^2\alpha = k + 2\alpha k + \alpha^2k \quad\implies\quad \alpha + 4k = k + 4\alpha \quad\implies\quad \alpha = k.\] Учитывая, что \(\alpha k = 4\), имеем \(k = \alpha = 2\). Тогда находим: \[R_1 = R_4 = 2R_2 = 6\text{ Ом}, \qquad R_3 = 4R_2 = 12\text{ Ом}.\]