Частица в призме с магнитным полем

В плоскости, перпендикулярной полю, частица движется по дуге окружности, и время пропорционально центральному углу. Наибольшее время даёт траектория, почти касающаяся двух граней призмы.

\(t=\dfrac{4\pi m}{3qB}\).

В плоскости, перпендикулярной магнитному полю, частица движется по окружности радиуса \(R=mv/(qB)\), где \(v\) — перпендикулярная магнитному полю компонента её скорости.

Длина дуги окружности \(l=\alpha R=\alpha mv/(qB)\), где \(\alpha\) — центральный угол. Время движения по дуге \(t=\alpha m/(qB)\). В перпендикулярной полю плоскости граница призмы является правильным треугольником.

Условие вылета частицы из призмы означает, что окружность, по которой движется частица с максимально возможным временем нахождения внутри призмы, касается одной из граней призмы \(OC\perp AB\). В общем случае траектория, проходящая через точку \(S\), может касаться только одной грани призмы. Вылет происходит в точке касания \(C\). Из точки \(S\) движение до точки \(C\) может происходить либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. При этом меньший из углов \(SOC\) изменяется в диапазоне от \(2\pi/3\) до \(\pi\). Наибольшая продолжительность движения внутри призмы отвечает наибольшему (\(\alpha\)) центральному углу \(SOC\) между точкой старта \(S\) и точкой вылета \(C\).

На рисунке изображён предельный случай, когда траектория касается двух граней призмы. Наибольший угол \(\alpha=4\pi/3\) достигается, если центр траектории частицы (точка \(O\)) чуть смещается влево на рисунке. В этом случае траектория уже не будет касаться грани \(BD\), и вылет частицы из призмы происходит в точке \(C\). Время движения в этом случае \[t=\frac{4\pi m}{3qB}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.