Песчаные кратеры и дюны

Марсоход НАСА Spirit (рис. 1.(a)) совершил посадку на Марс в 2004 году для изучения его геологии и возможного наличия воды. Место посадки (рис. 1.(b)) окружено кратерами разных размеров и дюнами. Во время работы марсоход не должен застревать в марсианских песчаных дюнах.

Рис. 1. (a) Художественное изображение марсохода Spirit. (b) Место посадки марсохода. Приведен масштабный отрезок длиной 200 метров.

Задача состоит из двух независимых частей: часть A (образование кратера) и часть B (торможение в песке), которые могут решаться в любом порядке. Список оборудования (рис. 2):

• (a) Пластиковая коробка, которую необходимо опорожнить. Пустая коробка будет использоваться для сбора высыпающегося во время экспериментов песка

• (b) Чаша

• (c) Бутылка с песком

• (d) 6 стальных шариков в контейнере. Имеются шары четырёх разных диаметров. Три самых маленьких шарика - одинаковые

• (e) Рулетка

• (f) Штатив, состоящий из деревянного лотка с резиновыми ножками (f1), вертикальной стержня (f4), зажимного винта (f2) и горизонтальной штанги (f3). Различные элементы должны быть собраны в единую конструкцию, как показано на фото (f)

• (g) Сито, используемое для поиска маленького шарика, если он затерялся в песке.

• (h) Алюминиевый профиль длиной 1 метр

• (i) Щетка для очистки профиля и шарика от песка, если это необходимо

• (j) Деревянная дорожка

• (k) Секундомер

• (l) Клейкая масса

• (m) Воронка, чтобы было удобней засыпать песок обратно в коробку в конце опыта.

• (n) Ложка

• (o) Линейка

Рис. 2. Фотографии всего оборудования.

Часть A. Образование кратера

Кратеры на Марсе, диаметры D которых варьируются от примерно 10 метров до нескольких сотен километров, образовались в результате падения метеоритов. Различные модели предсказывают, как диаметр кратера D зависит от параметров удара: диаметра метеорита d и его энергии E(рис. 3).

Рис. 3. Образование кратера.

Модель 1:\(D\) зависит только от диаметра метеорита \(d\).

\[D = c_1 d,\]

где \(c_1\) - безразмерное число, независящее от \(E\) и \(d\).

Модель 2: энергия метеорита \(E\) преобразуется во время удара благодаря объемным процессам. Эта модель предсказывает, что \(D\) пропорционален \(E^{1/3}\)

\[D = c_2 E^{1/3},\]

где \(c_2\) — параметр, независящий от \(E\) и \(d\).

Модель 3: \(E\) расходуется на выброс материала за пределы кратера. Согласно этому предположению

\[D = c_3 E^{1/4},\]

где \(c_3\) — параметр, независящий от \(E\) и \(d\).

Мы проводим эксперименты по образованию кратеров в сантиметровом диапазоне, чтобы сравнить эти три модели. В качестве метеоритов используются стальные шарики разного диаметра \(d\) и массы \(m\), с плотностью \(\rho_a= 7.8\cdot 10^3~кг \cdot м^{-3}\) (пункт (d) списка оборудования).

Чаша (b), наполненная песком (c), помещается внутрь опорожненной пластиковой коробки (a), которая помогает собрать излишки песка. Чаша полностью заполняется песком, а ее поверхность тщательно выравнивается с помощью ребра линейки (о). Избегайте уплотнения песка! Чтобы высвободить шарик над чашей для его падения, можно воспользоваться штативом (f). Стержень выступает направляющей, позволяющей отпускать шарик непосредственно над чашей и измерять высоту падения \(h\) (при помощи рулетки (e)).

Рис. 4. Экспериментальная установка для образования кратеров.

Бросьте шарик 3 с высоты \(h=50~см\) и измерьте диаметр \(D\) образовавшегося кратера. Повторите эксперимент 5 раз. После каждого удара перемешайте песок ложкой (n) и тщательно выравняйте его уровень с помощью ребра линейки (o). Избегайте уплотнения песка! При необходимости используйте сито (g), чтобы найти шарик, если он затерялся в песке.

A1. Представьте результаты в виде таблицы. Определите величину \(D\) и её погрешность.

Во время падения сила сопротивления воздуха равна

\[F=\frac{1}{8} \pi d^2\rho_0 C_x v^2\]

где \(v\) - скорость шара, \(\rho_0 \simeq 1.2~кг\cdot м^{-3}\) — плотность воздуха, а \(C_x\) — безразмерный коэффициент порядка единицы.

Сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала, если шарик упадет с высоты, меньшей, чем максимальная высота падения \(h_{\max}\). Она определяется как высота, при которой сила сопротивления воздуха составляет менее \(10\%\) от веса на протяжении всего падения.

A2. Получите теоретическое выражение для максимальной высоты падения \(h_{\max}\). Рассчитайте значение \(h_{\max}\) для четырех имеющихся шариков.

Исследуйте связь между \(D\) и \(E\) экспериментально, чтобы сравнить три степенных закона, представленных во введении. Выясните, меняется ли степенной закон в диапазоне исследуемых энергий. Для этого проведите серию измерений, бросая шарики с разной высоты. Необходимо охватить широкий диапазон энергий. Шарики можно сбрасывать с высоты до \(h=2~м\), чтобы достичь больших значений \(E\) (соблюдая условия, полученные в A.2). Для каждого набора параметров повторите эксперимент дважды и вычислите среднее значение \(D\).

A3. Результаты представьте в виде таблицы: масса шарика \(m\), высота падения \(h\), энергия удара \(E\), диаметр кратера \(D\).

A4. Выберите удобный для вас тип графика (с логарифмическими осями или с линейными) и постройте график зависимости. Добавьте на график три линии, соответствующие моделям 1, 2 и 3. Сделайте вывод о том, какая из трех теоретических моделей наилучшим образом согласуется с экспериментом.

Часть B. Качение и увязание в песке

Через пять лет после посадки марсоход Spirit окончательно увяз в марсианском песке. Качение по песку особенно специфично, поскольку при движении песчинок рассеивается большое количество энергии. В этой части мы изучаем торможение шарика, катящегося по песку. Шарик, находящийся в состоянии покоя, сначала разгоняется по профилю, наклоненному под углом \(\theta\), а затем замедляется в песке в деревянной дорожке.

Рис. 5. Наклонный профиль (h) в сочетании с деревянной дорожкой (j).

Движение шарика по профилю

Шарик 4 выпускается без начальной скорости из произвольной точки на профиле (h), выбранной в качестве начала \(x\)-оси ( \(x=0\)) (рис. 5). Пусть \(x(t)\) обозначает положение шарика вдоль профиля. Момент инерции шара массой \(m\) и диаметром \(d\) относительно оси, проходящей через его центр, равен \(J=md^2/10\). Кинетическая энергия \(K\) шарика, движущегося со скоростью \(v\) и вращающегося с угловой скоростью \(\omega\), равна

\[K = \frac12 mv^2+\frac12 J\omega^2.\]

Мы предполагаем, что шарик катится по профилю без проскальзывания, и пренебрегаем потерями энергии.

B1. Выразите положение шарика \(x\) как функцию времени \(t\), угла \(\theta\) и ускорения свободного падения \(g\).

Один конец профиля (h) опирается на край деревянной дорожки (j), в которой в этот момент нет песка. Другой конец профиля опирается на штатив (f) таким образом, что образует угол наклона \(\theta=5^\circ\) с горизонталью. Убедитесь, что угол выставлен точно. Профиль закрепляется (с обеих сторон) с помощью клейкой массы (l).

С помощью секундомера (k) измерьте время \(t_{50}\), за которое шарик проходит расстояние \(l=50~см\) по профилю.

B2. Проведите 5 измерений. Представьте результаты вместе с оценкой величины случайной погрешности.

Измерьте \(t\) с указанием порядка величины погрешности для 8 различных значений \(\ell\).

B3. Представьте свои результаты в виде таблицы.

B4. Постройте график результатов с крестами погрешностей, чтобы подтвердить закон, полученный в вопросе B.1. Получите экспериментальное значение константы \(g\) с ее погрешностью.

Движение шарика в песке

Пусть \(\ell\) — расстояние, пройденное шариком по профилю. На песке шарик останавливается, пройдя расстояние \(L\) (рис. 6).

Рис. 6. Ускорение на дистанции \(\ell\) и остановка на дистанции \(L\).

Шарик замедляется под действием силы сопротивления \(T\), которая может иметь два возможных происхождения:

• Модель №1 (сухое трение): как и между двумя твердыми телами, находящимися в относительном движении, песок оказывает на шарик постоянную силу сопротивления \(T = - \mu_{\textrm{eff}}mg\), где \(\mu_{\textrm{eff}}\) — эффективный коэффициент трения при контакте шарика с песком, а \(m\) — масса шарика.

• Модель №2 (вязкое трение): сила сопротивления линейно зависит от скорости шарика, \(T = -k v\), где \(k\) — константа, а \(v\) — поступательная скорость.

Цель состоит в том, чтобы определить, какая модель лучше всего описывает наблюдаемое поведение при торможении.

При движении в песке шарик считается точечной массой. Исходя из малости угла наклона профиля мы пренебрегаем потерями энергии в месте перехода с профиля в деревянную дорожку с песком. Установите теоретический закон, связывающий \(L\) с \(\ell\) в каждой из двух ситуаций (сухое трение или вязкое). Эти два предложения приводят к степенному закону вида \(L\sim\ell^\alpha\), в котором степень \(\alpha\) принимает два различных значения.

B5. Для модели 1 и модели 2 укажите соотношение между \(L\) и \(\ell\) и значение \(\alpha\).

Положите деревянную дорожку (j) на лист бумаги. Засыпьте дорожку песком и подготовьте равномерный слой, тщательно выравняв поверхность линейкой. Избегайте уплотнения песка! Еще раз тщательно отрегулируйте угол наклона профиля \(\theta=5^\circ\). Отпустите шарик 4 (\(d_4 = 16.0~мм\)) , чтобы он двигался по наклонному профилю так, чтобы расстояние, пройденное по профилю, составляло \(l=50~см\).

Перед каждым запуском перемешивайте песок, наполняйте дорожку заново и снова выравнивайте поверхность. Очищайте профиль и шарик от песка с помощью щетки (i). В конце эксперимента используйте лист бумаги в качестве воронки, чтобы поместить излишки песка обратно в бутылку.}

B6. Измерьте расстояние \(L_{50}\), пройденное шариком по песку до остановки. Проведите несколько измерений (не менее 5), чтобы определить величину \(L_{50}\) и ее погрешность.

B7. Проведя несколько измерений для 8 значений \(\ell\) (сохраняя \(\theta=5^\circ\)), постройте график зависимости \(L\) от \(\ell\) с крестами погрешностей и сделайте вывод о том, какая модель лучше всего описывает силу сопротивления \(T\).

B8. Исходя из выбранной модели, укажите значение коэффициента \(\mu_{\textrm{eff}}\) или \(k\), характеризующего силу \(T\).