Разряд батарейки

Ток короткого замыкания находится из закона Ома для полной цепи по двум измерениям ЭДС и напряжения на резисторе \(r\). Разряд удобно вести через амперметр на пределе «10 А»; тепло считайте как сумму тепла, запасённого в системе, и тепловых потерь, которые находятся по площади под кривой нагрева.

1. Подключим амперметр в режиме вольтметра к батарейке и найдём её начальную ЭДС \(\mathcal{E}_0 = 1{,}62 \pm 0{,}01\) В. Затем измерим напряжение на выданном резисторе, ненадолго подключив его к батарейке: \(U_0 = 1{,}40 \pm 0{,}01\) В. Таким образом, зная сопротивление резистора \(r = 1{,}0\) Ом, можно вычислить \(I_{0,\text{кз}}\) и \(R_0\): \[R_0 = \frac{\mathcal{E}_0 - U_0}{U_0}\, r = 0{,}16\,\text{Ом}, \qquad I_{0,\text{кз}} = \frac{\mathcal{E}_0}{R_0} = \frac{\mathcal{E}_0 U_0}{(\mathcal{E}_0 - U_0)\, r} = 10\,\text{А}.\] Оценим погрешности: \[\left(\frac{\Delta R_0}{R_0}\right)^2 \approx \left(\frac{\Delta(\mathcal{E}_0 - U_0)}{\mathcal{E}_0 - U_0}\right)^2 + \left(\frac{\Delta r}{r}\right)^2 = 0{,}09^2 + 0{,}05^2, \qquad \left(\frac{\Delta I_0}{I_0}\right)^2 \approx \left(\frac{\Delta R_0}{R_0}\right)^2 .\] Отсюда \(R_0 = 0{,}16 \pm 0{,}02\) Ом, \(I_{0,\text{кз}} = 10 \pm 1\) А.

2. Поскольку в условии спрашивалось минимальное постоянное сопротивление, а таким сопротивлением обладает амперметр на пределе «10 А», разряжать батарейку нужно через него. Положим батарейку в калориметр, нальём небольшое количество воды \(V = 20\) мл, чтобы залить батарейку полностью. Опустим также в воду термопару, чтобы следить за изменением температуры. Наконец, запустим секундомер, замкнём батарейку на амперметр и будем следить за показаниями трёх приборов, включая мультиметр с термопарой.

Полученные значения \(I(\tau)\) и \(t(\tau)\) занесём в таблицу и построим на графиках (рис. 13 и 14). Здесь и далее \(\tau\) — время, а \(t\) — температура в \(^{\circ}\)С. Батарейка разряжается достаточно долго: будем записывать измерения в течение \(20\)–\(30\) мин. Также заметим, что в начале имеет смысл записывать показания тока как можно чаще, а примерно через \(10\) мин достаточно одного измерения в минуту.

Так как \(I = dq/d\tau\), то протёкший заряд \(q_1\) будет равен площади под графиком \(I(\tau)\): \[q_1 = S_1 = 1{,}00\,\text{А}\cdot\text{ч}.\] Поскольку в конце измерений ток уменьшается слабо, но при этом не является нулевым, то требуется оценить оставшееся время \(\tau'\), необходимое для полной разрядки батарейки, и заряд \(q'\), который при этом выделится. Для этого заметим, что в течение последних \(20\) мин ток спадал линейно, поэтому линейная аппроксимация даст нам хорошую оценку этих величин: \[\tau' = \frac{I'}{k} = \frac{0{,}24\,\text{А}}{0{,}39\,\text{А/ч}} \approx 0{,}6\,\text{часа}, \qquad q' = \frac{1}{2}\tau' I' = 0{,}07\,\text{А}\cdot\text{ч}.\] Таким образом, малость этой величины по сравнению с \(q_1\) позволяет нам действительно обрывать измерения на \(30\) минутах. Погрешность определения \(q_1\) найдём из графика. Первые \(\tau_1 \approx 10\) мин ток менялся быстро, поэтому ошибка определения тока составляла порядка \(\Delta I_1 = 0{,}05\) А. Затем, когда показания амперметра менялись не так резко, погрешность определения тока \(\Delta I_2 = 0{,}01\) А. Также у нас есть погрешность определения площади под графиком. Другими словами: \[\Delta q_1 = \Delta q = \Delta I_1\tau_1 + \Delta I_2(\tau_\Sigma - \tau_1) + \Delta S_1 \approx 0{,}05\,\text{А}\cdot\text{ч}.\] Окончательно: \[q = q_1 + q' = 1{,}07 \pm 0{,}05\,\text{А}\cdot\text{ч}.\]

3. Теплоёмкость всей системы: \[C_0 = C + c_{\text{в}}\rho V = 145 \pm 4\,\text{Дж}.\] Поэтому, когда система нагрелась к концу эксперимента на \(\Delta t_1 = 20 \pm 2\,^{\circ}\text{C}\), запасённое тепло по сравнению с начальным состоянием: \[Q_{\text{з}} = C_0\,\Delta t_1 = 2{,}9 \pm 0{,}3\,\text{кДж}.\] Построим график температуры от времени. Из графика видно, что сначала температура увеличивалась, а потом вышла на плато: тепловые потери сравнялись с выделяемой на батарейке мощностью.

Оценим тепловые потери из закона \(P = \alpha (t - t_{\text{к}})\), где \(P\) — мощность тепловых потерь, \(t\) — температура воды в калориметре, \(t_{\text{к}}\) — комнатная температура, \(\alpha\) — коэффициент теплопотерь, который в течение одного эксперимента можно считать постоянным. Поскольку \(P = dQ/d\tau\), то тепловые потери \(Q_{\text{п}}\): \[Q_{\text{п}} = \int P\,d\tau = \alpha \int (t - t_{\text{к}})\,d\tau .\] Последний интеграл есть не что иное, как площадь \(S_2\) между графиком нагрева и прямой, соответствующей комнатной температуре.

Чтобы определить коэффициент \(\alpha\), разомкнём цепь и измерим кривую остывания \(t_{\text{ост}}(\tau)\). Так как \(t_{\text{ост}} = t_{\text{к}} + (t_0 - t_{\text{к}})\,e^{-\alpha\tau/C_0}\), то, построив график \(\ln(t_{\text{ост}} - t_{\text{к}})\) от времени, определим угловой коэффициент и вычислим \(\alpha = 0{,}04 \pm 0{,}01\) Вт/\(^{\circ}\)С. Полное тепло, выделившееся в батарейке, найдём как сумму: \[Q_0 = Q_{\text{з}} + Q_{\text{п}} = 4{,}1 \pm 0{,}7\,\text{кДж}.\]

4. Поскольку сопротивлением амперметра при разрядке можно пренебречь, то практически вся работа батарейки \(A\) переходит в джоулево тепло \(Q_1\): \[Q_1 = A = \mathcal{E}_{\text{ср}}\, q = 1{,}07\,\text{Вт}\cdot\text{ч} = 3{,}8 \pm 0{,}5\,\text{кДж}.\] Видно, что в пределах погрешности \(Q_1 = Q_0\).