Свободные колебания линейки

Линейка выглядит неподвижной, если её частота колебаний кратна частоте мерцаний стробоскопа. Меняйте частоту стробоскопа и ищите первое «замирание» линейки. Для второго пункта удобно логарифмировать \(\omega(l)\).

Введение. Закрепим линейку на краю стола, используя зажим. Возбудим колебания, отклоняя линейку в поперечном направлении, и направим перпендикулярно плоскости колебания луч стробоскопа. Предположим, что конец линейки совершает гармонические колебания с частотой \(\omega_л\), а стробоскоп мерцает с частотой \(\omega_с\), то есть мы видим линейку только в моменты времени \(t_n = n\,(2\pi/\omega_с)\). Координата конца линейки в моменты, когда мы её видим, \(x_n = x_0 \cos\bigl(2\pi n(\omega_л/\omega_с) + \varphi_0\bigr)\). Линейка «замрёт», если частота колебания линейки будет кратна частоте стробоскопа, то есть \(\omega_л = k\omega_с\), \(k = 1, 2, \dots\). Причём чем ближе \(\omega_л\) к частоте, кратной \(\omega_с\), тем медленнее колеблется изображение линейки в свете стробоскопа. Уменьшая \(\omega_с\) с заведомо большой частоты, мы увидим, как колебания изображения линейки замедляются и, подобрав такую \(\omega_с\), при которой линейка «замрёт» в первый раз, найдём \(\omega_л = \omega_с\).

1. Снимем зависимость \(\nu(l)\):

2. Построим график зависимости \(\ln\omega(\ln l)\), из углового коэффициента \(k \approx -2\) найдём, что \(p = -2\).

3. От ширины линейки частота колебаний не зависит, то есть \(q = 0\). Тогда, решая методом размерностей \(\omega = \beta E^m \rho^n l^p h^s\), получим: \(m = \dfrac{1}{2}\), \(n = -\dfrac{1}{2}\), \(s = 1\).

4. Теперь, когда мы знаем вид зависимости частоты от остальных параметров, можно найти модуль Юнга материала пластмассовой линейки. Для этого нам нужно знать отношение плотностей стали и пластмассы, которое можно найти, зная геометрические размеры и отношение масс линеек. Последнее находится с помощью уравновешивания линеек на краю стола и правила моментов (рис. 12). Положение центра масс металлической линейки находится на расстоянии \(164\) мм от её края. Положение опоры (края стола) при уравновешивании линеек находится на расстоянии \(126\) мм. Таким образом, \(m_{\text{ст}}/m_{\text{пл}} = 63/19\). Геометрические размеры линеек, измеренные другой линейкой: \(l_{\text{ст}} = 330\) мм, \(l_{\text{пл}} = 313\) мм, \(b_{\text{ст}} = 30\) мм, \(b_{\text{пл}} = 25\) мм.

Измерив частоту колебаний при длине свободной части пластмассовой линейки, например, \(160\) мм, получаем значение \(1130\) мин\(^{-1}\). В итоге получаем: \[E_{\text{пл}} = E_{\text{ст}} \left(\frac{\omega_{\text{пл}}(l_0)}{\omega_{\text{ст}}(l_0)}\right)^{2} \left(\frac{h_{\text{ст}}}{h_{\text{пл}}}\right)^{2} \frac{m_{\text{пл}}\, l_{\text{ст}}\, h_{\text{ст}}\, b_{\text{ст}}}{m_{\text{ст}}\, l_{\text{пл}}\, h_{\text{пл}}\, b_{\text{пл}}} = 2{,}1\cdot 10^{11}\left(\frac{1130}{1850}\right)^{2}\left(\frac{1}{2{,}1}\right)^{2}\frac{19\cdot 330\cdot 1\cdot 30}{63\cdot 313\cdot 2{,}1\cdot 25} \approx 3\cdot 10^{9}\,\text{Па}.\] Более точным решением может быть снятие зависимости \(\omega(l)\) для пластмассовой линейки, построение двух графиков \(\omega(1/l^2)\) и вычисление отношения двух угловых коэффициентов. Для оценки погрешности модуля Юнга считаем, что \(\Delta\omega = 10\) мин\(^{-1}\), погрешность измерения любой длины линейкой \(\Delta l = 1\) мм, такое же значение имеет погрешность определения положения опоры при измерениях, необходимых для определения отношения масс линеек. Из вышесказанного следует, что основной вклад в погрешность внесут измерения: 1) ширины линеек (\(\approx 4\%\)), 2) разности положений опор (\(\approx 3\%\)), а также указанная в условии погрешность определения толщины (\(\approx 20\%\), т.к. в окончательный ответ толщина входит в третьей степени). Окончательно погрешность результата \(\approx 30\%\).