Изогнутый стержень на оси

Сумма сил, действующих на невесомый стержень, равна нулю, поэтому сила со стороны оси равна по модулю силе, с которой тела действуют на стержень. Какая связь есть между ускорениями тел сразу после отпускания?

Сумма сил, действующих на стержень, равна нулю, поэтому сила со стороны оси равна по модулю силе \(\vec F\), с которой тела действуют на стержень. Найдём силы, с которыми стержень действует на тела \(\vec T_1\) и \(\vec T_2\). Сразу после отпускания скорости тел равны нулю, поэтому их ускорения касательны к траекториям: ускорение тела \(m\) направлено вертикально вниз, тела \(2m\) – горизонтально вправо.

Второй закон Ньютона для тел в проекциях: \[\begin{cases} m a_1 = mg - T_1,\\ 0 = -T_{2y} + 2mg,\\ 2m a_2 = T_{2x}. \end{cases}\] Условия связи: стержень невесомый, поэтому сумма моментов сил относительно оси равна нулю, откуда \(T_{2x} = 2T_1\) (плечо для \(T_1\) вдвое больше). Жёсткая конструкция вращается как целое, поэтому линейная скорость тела \(m\) вдвое больше, чем у тела \(2m\), и \(a_1 = 2a_2\).

Решая систему, получаем \(a_1 = \dfrac{2}{3}g\), \(a_2 = \dfrac{1}{3}g\), \(T_1 = \dfrac{mg}{3}\), \(T_{2x} = \dfrac{2}{3}mg\), \(T_{2y} = 2mg\).

Сила, с которой тела действуют на стержень, имеет составляющие \(F_x = \dfrac{2}{3}mg\) и \(F_y = T_1 + T_{2y} = \dfrac{7}{3}mg\), поэтому \[F = \sqrt{\left(\tfrac{2}{3}mg\right)^2 + \left(\tfrac{7}{3}mg\right)^2} = \frac{\sqrt{53}}{3}\,mg .\] Именно такой силой ось вращения действует на стержень, а стержень на ось вращения действует с силой того же модуля.