Кольцо падает в неоднородном магнитном поле

Изменение магнитного потока через кольцо при его движении даёт ток. Как вычислить горизонтальную составляющую поля, если известно, что поток через замкнутую поверхность равен нулю?

При падении кольца поток магнитного поля через него меняется, и по закону Фарадея в кольце возникает индукционный ток. Кроме того, у вектора индукции появляется горизонтальная составляющая, и сила Ампера от горизонтального магнитного поля, действующая на горизонтальный ток в кольце, направлена вертикально. По правилу Ленца она тормозит кольцо. При установившейся скорости \(v\) эта сила уравновешивает силу тяжести.

За малый промежуток времени \(\Delta t\) кольцо опустится на \(\Delta y = v\Delta t\). Изменение потока через кольцо: \[\Delta\Phi = B(y)S - B(y-\Delta y)S = B_0\alpha v\,\Delta t\,S, \qquad S = \pi r^2 .\] Поэтому в кольце возникает ток \(I = \dfrac{\Delta\Phi}{R\,\Delta t} = \dfrac{B_0\alpha v S}{R}\).

Горизонтальную составляющую поля найдём из того, что поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю. Построим цилиндр на двух положениях кольца, отстоящих на \(\Delta y\), как на основаниях. Поток через боковую поверхность равен разности потоков через основания: \[B_0\alpha\,\Delta y\,\pi r^2 = B_{\text{гор}}\cdot 2\pi r\,\Delta y , \qquad\text{откуда}\qquad B_{\text{гор}} = \frac{1}{2}B_0\alpha r .\]

Сила Ампера, действующая на кольцо с током \(I\) со стороны горизонтальной составляющей поля, направлена вертикально вверх и равна \(F_A = B_{\text{гор}}\,I\,L\), где \(L = 2\pi r\) — длина кольца. Подставляя, \[F_A = \frac{\pi^2 B_0^2\alpha^2 r^4 v}{R}.\] Приравнивая \(F_A\) к силе тяжести \(mg\), получаем скорость установившегося движения: \[v = \frac{mgR}{\pi^2 B_0^2\alpha^2 r^4}.\]