Вращающаяся верёвка

Запишите второй закон Ньютона для малого элемента верёвки на расстоянии \(r\) от оси и просуммируйте по элементам от сечения \(5l/8\) до конца верёвки.

Разобьём верёвку на малые элементы, каждый из которых находится на определённом расстоянии от оси. Для элемента массой \(\Delta m_i\) и длиной \(\Delta r_i\), находящегося на расстоянии \(r_i\) от оси, \[\Delta m_i\,\omega^2 r_i = T(r_i) - T(r_i + \Delta r_i),\] где \(T(r_i)\) и \(T(r_i+\Delta r_i)\) — силы натяжения с двух сторон элемента. Масса элемента \(\Delta m_i = \dfrac{m}{l}\Delta r_i\).

Суммируя уравнения для всех элементов от \(5l/8\) до \(l\), получим, что сумма разностей сил натяжения даёт \(T(5l/8)\) (на свободном конце натяжение равно нулю): \[T\!\left(\tfrac{5l}{8}\right) = \frac{m\omega^2}{l}\sum_i r_i\,\Delta r_i .\] Сумма \(\sum_i r_i\Delta r_i\) равна площади под графиком \(r(r)\) — прямой под углом \(45^\circ\) — между \(r = 5l/8\) и \(r = l\), то есть площади трапеции: \[T\!\left(\tfrac{5l}{8}\right) = \frac{m\omega^2}{l}\cdot\frac{\tfrac{5l}{8}+l}{2}\cdot\frac{3l}{8} = \frac{39}{128}\,m\omega^2 l \approx 0{,}305\,m\omega^2 l.\]

Проверка другим способом: участок верёвки длиной \(3l/8\) (от \(5l/8\) до \(l\)) имеет массу \(\Delta m = \dfrac{3}{8}m\) и центр масс на расстоянии \(r_{\text{ц}} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5l}{8}+l\right) = \dfrac{13l}{16}\) от оси. Второй закон Ньютона для этого участка даёт \(T(5l/8) = \Delta m\,\omega^2 r_{\text{ц}} = \dfrac{39}{128}m\omega^2 l\).