Пучок света на стеклянном шаре

Углы малы, поэтому синусы можно заменить углами. Попробуйте показать, что все лучи пучка после выхода из шара пересекают ось в одной точке.

По закону Снеллиуса \(\sin\alpha = n\sin\beta\), где \(\alpha\) — угол падения луча на шар, \(\beta\) — угол преломления внутри шара, \(n = 2\). Так как радиус пучка много меньше радиуса шара, \(\sin\alpha \approx \alpha\), \(\sin\beta \approx \beta\), и из закона Снеллиуса \(\beta = \alpha/2\).

Преломлённый луч делит угол между продолжением луча в шаре и радиусом, проведённым в точку падения, на два равных угла \(\beta\). Треугольник, образованный точкой падения, центром шара и точкой пересечения луча с прямой, проходящей через центр шара параллельно пучку, равнобедренный. Поэтому все лучи пучка после прохождения шара попадают в одну точку на оси пучка, на задней границе шар–воздух. Угол падения каждого луча на эту границу равен \(\beta\), и по симметрии закона Снеллиуса каждый луч выходит из этой точки под тем же углом \(\alpha\), под которым падал на шар.

Максимальный угол падения лучей на поверхность шара \(\alpha_m = \arcsin\dfrac{r}{R} \approx \dfrac{r}{R}\) (угол в радианах). Радиус пятна на экране \[r_1 = l\,\mathrm{tg}\,\alpha \approx l\alpha = \frac{lr}{R} = \frac{20\cdot 0{,}5}{10}\ \text{см} = 1\ \text{см}.\]