Золушка

Плотность крупы находится из массы и объёма шприца с пшеном, но зерно на дне мешка уплотнено: нужно прижать его поршнем. Плотность зерна получается делением плотности крупы на плотность упаковки; какая решётка даёт упаковку шариков?

Измеряем массу \(M\) пустого шприца. Насыпаем в шприц пшено, измеряем массу \(m_\text{общ}\) шприца с пшеном и объём \(V\), занимаемый крупой. Чтобы смоделировать состояние зерна на дне мешка, прижимаем зерно поршнем шприца. Плотность крупы \(\rho_\text{кр} = \dfrac{m_\text{общ} - M}{V} \approx 0{,}83\) г/см\(^3\). Если зерно насыпать в шприц и не уплотнять, измеренная плотность окажется на 10–15% меньше (\(\rho_\text{кр} \approx 0{,}7\) г/см\(^3\)).

Предположим, что крупа подобна кристаллической структуре, элементарная ячейка которой — куб, в вершинах и в центре которого находятся центры зёрен (объёмно-центрированная кубическая решётка). Найдём плотность упаковки \(k = \dfrac{V_0}{V_\text{я}}\), где \(V_0 = N V_\text{ш}\) — объём, занимаемый зёрнами, \(N\) — число зёрен на одну ячейку, \(V_\text{я} = a^3\). Ребро куба связано с радиусом зерна: \(a\sqrt{3} = 4r\). Зёрна из вершин принадлежат ячейке по \(1/8\), а центральное — целиком: \(N = 8\cdot\dfrac{1}{8} + 1 = 2\). Тогда \(k = \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0{,}68\) и \(\rho_\text{зер} = \dfrac{\rho_\text{кр}}{k} \approx 1{,}2\) г/см\(^3\). Для гранецентрированной решётки \(k = 0{,}74\) и \(\rho_\text{зер} \approx 1{,}1\) г/см\(^3\) (это наиболее плотная упаковка наряду с гексагональной). Для простой кубической решётки \(k = 0{,}52\) и \(\rho_\text{зер} \approx 1{,}6\) г/см\(^3\).

Измеряем массу \(m_1\) 5–6 драже. Далее насыпаем в шприц немного пшена так, чтобы у дна образовалась «подушка» из зерна, и бросаем на неё одно драже. Аккуратно досыпаем зерно, заполняя промежутки между драже и стенками, и так продолжаем, пока общий объём не станет 20 мл (сверху должен быть слой зерна). Измеряем массу \(m_2\) шприца с драже и пшеном. Масса пшена \(m_\text{пш} = m_2 - m_1 - M\). Так как зёрна пшена много меньше драже, считаем, что крупа заполнила все промежутки, и их объём \(V_\text{пр} = \dfrac{m_\text{пш}}{\rho_\text{кр}}\). Тогда объём самого драже \(V_\text{др} = V_\text{общ} - V_\text{пр}\), а его плотность \(\rho_\text{др} = \dfrac{m_1}{V_\text{др}} \approx (1{,}2\text{--}1{,}3)\) г/см\(^3\). Измерения повторяем не менее двух раз.