Пробка в треугольном отверстии между жидкостями

Разложите силу на вертикальную составляющую (закон Архимеда для половины конуса) и горизонтальную (давление на вертикальное сечение конуса). Для горизонтальной силы удобно воспользоваться моментом силы тяжести плоского треугольника.

Найдём силу, действующую на конус со стороны первой и второй жидкости, а затем их равнодействующую. Обе жидкости действуют на половину основания и половину боковой поверхности конуса.

Пусть в жидкости плотности \(\rho\) находится половина конуса, образованная половиной основания, половиной боковой поверхности и вертикальным сечением, содержащим ось конуса. По закону Архимеда на эту половину конуса действует сила, направленная вертикально вверх: \[F_1 = \rho g\cdot\dfrac{1}{2}V.\] С другой стороны, эта сила складывается из силы, действующей на половину дна и боковую поверхность (\(F_{бок}\)), и силы, действующей на вертикальное сечение конуса, направленной горизонтально (\(F_{сеч}\)): \[\vec F_1 = \vec F_{бок} + \vec F_{сеч}.\] Отсюда сила, действующая на боковую поверхность и половину основания конуса, имеет вертикальную составляющую \(F_1\) и горизонтальную составляющую \(F_{сеч}\).

Найдём силу \(F_{сеч}\), действующую со стороны жидкости на вертикальное сечение конуса. Разобьём сечение на узкие полоски, параллельные основанию сечения, и просуммируем силы, действующие на каждую из них, \(F = \rho g h_i\,\Delta S_i\): \[F_{сеч} = \rho g\left(h_1\Delta S_1 + h_2\Delta S_2 + h_3\Delta S_3 + \dots\right).\]

Сумму в скобках можно вычислить, если рассмотреть плоский треугольник с поверхностной плотностью \(\sigma\): сумма \(\sigma g\left(h_1\Delta S_1 + \dots\right)\) — это момент силы тяжести треугольника относительно точки \(O\). С одной стороны, это и есть нужная сумма, с другой — произведение суммарной силы тяжести \(\sigma S\) на плечо, равное расстоянию от \(O\) до центра тяжести треугольника (точки пересечения медиан). Поэтому \[h_1\Delta S_1 + h_2\Delta S_2 + h_3\Delta S_3 + \dots = S\left(h + \dfrac{\sqrt3}{6}a\right), \qquad S = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2,\] где \(h\) — расстояние от поверхности жидкости до основания конуса, \(\sqrt3 a/6\) — расстояние от основания треугольного выреза до его центра тяжести. Отсюда \[F_{сеч} = \dfrac{\sqrt3\,\rho g a^2}{4}\left(h + \dfrac{\sqrt3}{6}a\right).\]

Жидкость действует на половину дна и боковую поверхность половинки конуса с силой, имеющей вертикальную составляющую \[F_{верт} = \rho g\cdot\dfrac{1}{2}V = \dfrac{\sqrt3\pi}{48}\rho g a^3\] и горизонтальную составляющую \(F_{гор} = F_{сеч}\). Теперь учтём, что на коническую пробку действуют две жидкости — с плотностью \(\rho\) и \(2\rho\). Вертикальные составляющие складываются, а горизонтальные направлены в противоположные стороны, в сторону более лёгкой жидкости: \[F_{верт} = \dfrac{\sqrt3\pi}{16}\rho g a^3, \qquad F_{гор} = \dfrac{\sqrt3\,\rho g a^2}{4}\left(h + \dfrac{\sqrt3}{6}a\right).\] Суммарная сила, действующая со стороны жидкостей на пробку, \[F = \sqrt{F_{верт}^2 + F_{гор}^2} = \dfrac{\rho g a^2}{4}\sqrt{\dfrac{3\pi^2a^2}{16} + 3\left(h + \dfrac{\sqrt3}{6}a\right)^2}.\] Она направлена под углом \(\alpha\) к горизонту, тангенс которого равен \[\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{F_{верт}}{F_{гор}} = \dfrac{\pi a}{4\left(h + \dfrac{\sqrt3}{6}a\right)}.\]