Тень брошенного камня

Пока тень лежит между точками бросания и падения, её путь равен дальности полёта камня. Когда скорость камня параллельна солнечным лучам, тень меняет направление движения: найдите момент, когда тень максимально смещена.

В момент броска и в момент падения тень находится на земле. Если бы тень всё время находилась между начальной и конечной точками, то пройденный тенью путь равнялся бы дальности полёта камня по горизонтали.

Очевидно, что при \(\alpha < \beta\) камень по отношению к солнечным лучам начнёт сразу смещаться вправо, и тень всегда лежит между точками бросания и падения камня. Поэтому путь, пройденный тенью, равен дальности полёта камня по горизонтали: \[S = \dfrac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}.\]

Существенно другой будет ситуация при \(\alpha > \beta\). В этом случае тень сначала начнёт двигаться от точки падения камня на землю, а после того как скорость камня станет параллельной солнечным лучам, начнёт двигаться в направлении точки падения. Если длину этого участка обозначить как \(\Delta x\), то путь, пройденный тенью до падения камня, равен двум длинам \(\Delta x\) плюс дальность полёта камня: \[S = 2\Delta x + \dfrac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}.\]

Найдём \(\Delta x\). Камень движется равноускоренно. Выберем систему координат так, чтобы её начало находилось в точке бросания камня, ось \(y\) была направлена противоположно солнечным лучам, а ось \(x\) — перпендикулярно. Проецируя векторные уравнения движения на ось \(x\), получим \[\begin{cases} x(t) = v_0\sin(\alpha-\beta)\,t - \dfrac{g\cos\beta\,t^2}{2},\\[2mm] v_x(t) = v_0\sin(\alpha-\beta) - g\cos\beta\,t. \end{cases}\] Максимальному смещению тени влево отвечает ситуация, когда проекция скорости камня на ось \(x\) равна нулю. Из второго уравнения находим время движения до этой точки \[t_1 = \dfrac{v_0\sin(\alpha-\beta)}{g\cos\beta},\] а из первого — смещение камня по оси \(x\) до этой точки \[l = \dfrac{v_0^2\sin^2(\alpha-\beta)}{2g\cos\beta}.\] Отсюда \[\Delta x = \dfrac{l}{\sin\beta} = \dfrac{v_0^2\sin^2(\alpha-\beta)}{2g\cos\beta\sin\beta},\] и путь, пройденный тенью, \[S = \dfrac{v_0^2\sin^2(\alpha-\beta)}{g\cos\beta\sin\beta} + \dfrac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}.\]