Человек тянет сани по льду

Сравните силу натяжения, необходимую для сдвига саней при горизонтальной верёвке, с максимальной силой трения покоя, которая может удерживать человека. Что меняет наклон верёвки в силах, действующих на сани и на человека?

Тянуть верёвку горизонтально бессмысленно, поскольку для сдвига саней на них должна действовать сила натяжения \[T = \mu_1 M g = 200\text{ Н}.\] Но такая же сила натяжения будет действовать и на человека. При этом максимальная сила трения покоя, которая может удерживать человека на месте, \(\mu_2 mg = 180\) Н, меньше этого значения. Человек, пытаясь обеспечить горизонтальное усилие \(200\) Н, начнёт двигаться и такое усилие развить не сможет.

Поэтому человек должен развивать усилие под некоторым углом \(\alpha\) к горизонту. В этом случае он уменьшит вес саней, увеличит свой собственный вес и может добиться сдвига саней. В момент сдвига для саней \[T\cos\alpha = \mu_1\left(Mg - T\sin\alpha\right).\] Человек не должен двигаться, поэтому на него действует сила трения, которая компенсирует горизонтальную составляющую силы \(T\). Для человека (при минимальном угле наклона нити, при котором он сможет сдвинуть сани) \[T\cos\alpha = \mu_2\left(mg + T\sin\alpha\right).\] Выражая из первого и второго уравнения силу \(T\) и деля уравнения друг на друга, получим \[\dfrac{1 + \mu_1\operatorname{tg}\alpha}{1 - \mu_2\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{\mu_1 M}{\mu_2 m}.\] Откуда \[\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\mu_1 M - \mu_2 m}{\mu_1\mu_2\left(m+M\right)} \approx 0{,}208.\]