Массивная перегородка в цилиндре с газом

В конечном состоянии перегородка неподвижна, и давления сверху и снизу связаны её весом. Потенциальная энергия перегородки переходит во внутреннюю энергию газа; температуры газов над и под перегородкой одинаковы.

После установления равновесия второй закон Ньютона для перегородки даёт \[p_1 - p_2 = \dfrac{mg}{S},\] где \(p_1\) и \(p_2\) — давления в нижней и верхней частях сосуда, \(S = \pi r^2\) — площадь поперечного сечения сосуда. Поскольку сосуд теплоизолирован, внутренняя энергия газа в нём увеличилась на уменьшение потенциальной энергии перегородки: \[mgh + 2\cdot\dfrac{3}{2}\,p\cdot 4rS = \dfrac{3}{2}p_1\left(4r-h\right)S + \dfrac{3}{2}p_2\left(4r+h\right)S,\] здесь использована формула \(U = \dfrac{3}{2}pV\) для внутренней энергии одноатомного идеального газа.

Перегородка теплопроводна, поэтому температуры в нижнем и верхнем отсеках сосуда одинаковы. Количества вещества газа над и под перегородкой также одинаковы, поэтому из закона Клапейрона–Менделеева \[\dfrac{p_1\left(4r-h\right)S}{RT} = \dfrac{p_2\left(4r+h\right)S}{RT} \quad\Rightarrow\quad p_1\left(4r-h\right) = p_2\left(4r+h\right),\] где \(T\) — температура газов над и под перегородкой после наступления равновесия. Получается система из трёх уравнений относительно \(p_1\), \(p_2\) и \(m\). Решая её, получим \[m = \dfrac{24\pi p r^3 h}{g\left(48r^2 - 5h^2\right)}.\]