Другой уровень

Запишите равновесие поршня: давления столбов жидкости слева и справа плюс сила пружины. Если поршень сдвинулся на \(x\), правый уровень поднялся на \(x\), а левый — на столько, на сколько долили, минус \(x\).

Так как оба конца трубки открыты в атмосферу, атмосферное давление можно не учитывать. Условие равновесия поршня в начальном положении: \[\rho_1 gh_1S = \rho_2 gh_2S,\] где \(h_1\) и \(h_2\) — высота столба жидкости выше центра поршня в левой и правой частях соответственно. При добавлении жидкости плотностью \(\rho_1\) в левый сосуд поршень сместится на расстояние \(x\) вправо, и на него начнёт действовать сила упругости. Условие равновесия поршня после добавления некоторого количества жидкости: \[\rho_1 gH_1S = \rho_2 gH_2S + kx.\] После перемещения поршня на расстояние \(x\), уровень жидкости в правой части тоже увеличится на \(x\): \[\rho_1 g(h_1 + y)S = \rho_2 g(h_2 + x)S + kx,\] где \(y\) — высота, на которую увеличился уровень жидкости в левом сосуде. Для того чтобы разность высот \(\Delta h\) оставалась постоянной, \(y\) должно равняться \(x\). Тогда: \[k = (\rho_1 - \rho_2)gS.\]

Условие равновесия поршня после добавления в левую часть объёма \(\Delta V\) жидкости плотностью \(\rho_2\): \[\rho_1 g(h_1 - x)S + \rho_2 gzS = \rho_2 g(h_2 + x)S + kx.\] Чтобы верхние границы жидкостей совпадали, высота \(z\) добавленной в левое колено жидкости плотностью \(\rho_2\) должна быть равна: \(z = \Delta h + 2x\). Тогда, с учётом найденного коэффициента жёсткости пружины \(k = (\rho_1 - \rho_2)gS\): \[x = \frac{\rho_2\Delta h}{2(\rho_1 - \rho_2)}.\] Убедимся, что при перемещении поршня на расстояние \(x\) в левой вертикальной части трубки останется жидкость плотностью \(\rho_1\). Условие равновесия поршня в начальный момент: \[\rho_1 gh_1S = \rho_2 g(h_1 + \Delta h)S \;\Rightarrow\; h_1 = \frac{\rho_2\Delta h}{\rho_1 - \rho_2} \;\Rightarrow\; h_1 > x.\] Объём добавленной жидкости может быть найден по формуле: \(\Delta V = S(\Delta h + 2x)\). Подставив в это выражение значение \(x\), найдём \(\Delta V\): \[\Delta V = \frac{\rho_1\Delta hS}{\rho_1 - \rho_2}.\]